Wektory własne

[skolukmar]

Wektory \(\displaystyle{ (1,0,0)}\) , \(\displaystyle{ (0,1,1)}\) , \(\displaystyle{ (1,1,1)}\) sa wektorami własnymi macierzy \(\displaystyle{ A}\). Pokazać, ze \(\displaystyle{ (1,2,2)}\) też jest wektorem własnym \(\displaystyle{ A}\)

Rozw. Oznaczamy odpowiednio \(\displaystyle{ a, b, c}\) wartościami własnymi.
Z def wektorów własnych:

\(\displaystyle{ A \left( \begin{array}{c}1\\2\\2\end{array}\right) = A \left[ \left( \begin{array}{c}0\\1\\1\end{array}\right) + \left( \begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}\right) \right] = b \left( \begin{array}{c}0\\1\\1\end{array}\right) + c \left( \begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}\right)}\)

I tutaj nie wiem co dalej zrobić. Gdyby \(\displaystyle{ b=c}\) to zadanie jest już rozwiązane, ale czy tak można ?
Proszę o pomoc.

[norwimaj]

Można pokazać, że \(\displaystyle{ b=c}\). Zauważ, że

\(\displaystyle{ a\left( \begin{array}{c}1\\0\\0\end{array}\right)+b\left( \begin{array}{c}0\\1\\1\end{array}\right)=c\left( \begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}\right)}\).

Jaki stąd wniosek na temat współczynników \(\displaystyle{ a,b,c}\)?

[skolukmar]

Wniosek jest taki, że jest tylko jedna wartość własna, równa 1 ?

[norwimaj]

Wniosek jest taki, że jest tylko jedna wartość własna, równa 1 ?

Nie musi być tylko jedna wartość własna, i nie musi być wartości własnej równej \(\displaystyle{ 1}\). Skąd te wnioski?

[skolukmar]

Wniosek jest taki, że \(\displaystyle{ a=b=c}\) ?

[norwimaj]

Teraz dobrze.