Wykazać, że zbiór jest zbiorem wektorów liniowo niezależnych

[anetaaneta1]

Wykazać że jeśli \(\displaystyle{ g}\) jest przekształceniem liniowym i jeśli \(\displaystyle{ \{g(x_1),g(x_2),...g(x_n) \}}\) jest zbiorem wektorów liniowo niezależnych to zbiór \(\displaystyle{ \{x_1,x_2,...x_n \}}\) jest zbiorem wektorów liniowo niezależnych

Z góry dzięki:)

[mateuszek89]

\(\displaystyle{ a_1x_1+\ldots+a_nx_n=0\\
g(a_1x_1+\ldots+a_nx_n)=g(0)=0 \text{ bo g liniowe}\\
a_1g(x_1)+\ldots+a_ng(x_n)=0 \text{ też z liniowości g}}\)
jeśli \(\displaystyle{ \{g(x_1), \ldots , g(x_n) \}}\) jest zbiorem wektorów liniowo niezależnych to \(\displaystyle{ a_1=\ldots =a_n=0}\), a stąd zbiór \(\displaystyle{ \{x_1, \ldots , x_n \}}\) jest zbiorem wektorów liniowo niezależnych. Pozdrawiam!

[anetaaneta1]

ale w zad jest założone że \(\displaystyle{ \{g(x_1),g(x_2),...g(x_n) \}}\) a nie \(\displaystyle{ \{x_1,x_2,...x_n \}}\) i te jest implikacja w drugą strone. A dlaczego tam \(\displaystyle{ g(0)=0}\) ?

[mateuszek89]

sprawdzałem czy \(\displaystyle{ \{x_1,\ldots ,x_n \}}\) jest zbiorem wektorów liniowo niezależnych jeśli \(\displaystyle{ \{g(x_1), \ldots , g(x_n) \}}\) jest zbiorem wektorów liniowo niezależnych. Skorzystałem z definicji liniowej niezależności. Trzeba więc pokazać, że z każdej równości na samej górze wynika, że \(\displaystyle{ a_1= \ldots =a_n=0}\). Zauważ, że to pokazałem. Ponadto \(\displaystyle{ g(0)=0}\) wynika z tego, że \(\displaystyle{ g}\) jest przekształceniem liniowym. pozdrawiam!