rząd przekształcenia liniowego

[anetaaneta1]

mam pytanie odnoście rzędu przekształcenia. Mam podaną funkcję \(\displaystyle{ g((x_1,x_2,x_3))=(x_1+5x_2-2x_3,-3x_1-3x_2,2x_1+x_3,4x_1+2x_2+x_3)}\) i wyznaczyć rząd przekształcenia g
W jaki sposób się liczy rząd czy mógłby mi ktoś tak dokładnie wytłumaczyć ?

[tometomek91]

rząd przekształcenia = rząd macierzy tego przekształcenia
przy czym rząd tej macierzy nie zależy od wyboru bazy.
Zatem przyjmujemy bazę kanoniczną \(\displaystyle{ e_1,e_2,e_3}\) i liczymy \(\displaystyle{ g(e_1)=...}\) itd.

[anetaaneta1]

a jak wyliczyć rząd macierzy przekształcenia?

[tometomek91]

rząd macierzy = liczba liniowo niezależnych wektorów-kolumn = liczba liniowo niezależnych wektorów-wierszy = największy nieosobliwy minor wyjęty z tej macierzy

ale najlepiej sprowadzic macierz do postaci schodkowej i policzyć liczbę "schodków" (tzw. metoda eliminacji Gaussa).

[anetaaneta1]

A mógłbyś mi wytłumaczyć jak ta macierz się tworzy i jak się liczy ten rząd emininacją gaussa

[tometomek91]

\(\displaystyle{ ge_1=g(1,0,0)=(1,-3,2,4)\\
ge_2=(5,-3,0,2)\\
ge_3=(-2,0,1,1)}\)
czyli
\(\displaystyle{ M_g=\left[\begin{array}{ccc}1&5&-2\\-3&-3&0\\2&0&1\\4&2&1\end{array}\right]}\)
do potrojonego pierwszego wiersza dodajemy drugi, później od pomnożonego przez \(\displaystyle{ \frac{2}{3}}\) pierwszego wiersza odejmujemy wiersz trzeci, następnie monożymy pierwszy wiersz razy dwa i odejmujemy od niego wiersz czwarty, powinniśmy otrzymać
\(\displaystyle{ M_g=\left[\begin{array}{ccc}1&5&-2\\0&12&-6\\0&10&-5\\0&18&-9\end{array}\right]}\)
i tutaj w zasadzie możemy przerwać proces eliminacji Gaussa, bo już widać, że wszystkie wiersze zaczynające się zerem są liniowo zależne, więc rząd tej macierzy to 2 (bo tylko dwa wiersze są liniowo niezależne: pierwszy i jeden z tych trzech wspomnianych).-- 21 sie 2011, o 16:28 --[edit]
ten rząd przekształcenia to też jeszcze jest wymiar obrazu, to tak jako ciekawostka.

[anetaaneta1]

a mam pytanie odnoście tego mnożenia wierszy skąd wiadomo przez co mnożyć i co odejmować ? czym mam się sugerować ?

[tometomek91]

Chodzi o to, by w pierwszej kolumnie, oprócz pierwszego elementu macierzy, były same zera. Czyli trzeba mnożyć kolejne wiersze przez taki współczynnik, aby pierwszy element danego wiersza był taki sam, jak pierwszy element macierzy \(\displaystyle{ a_{11}}\), jasniej: mnozymy drugi wiersz przez takie \(\displaystyle{ \xi}\), zeby \(\displaystyle{ \xi a_{21}=a_{11}}\), trzeci wiersz przez takie \(\displaystyle{ \eta}\), żeby \(\displaystyle{ \eta a_{31}=a_{11}}\) itd, wtedy wystarczy odjąć kolejne wiersze od pierwszego i mamy to co chcieliśmy - same zera w pierszej kolumnie. Następnie robimy to samo z "macierzą prim" utworzoną z wyjściowej poprzez wymazanie pierwszego wiersza i pierwszej kolumny itd. W efekcie powinnismy dostać macierz trójkątną górną (czyli te wspomniane schodki)

[anetaaneta1]

a jak wygląda ta macierz trójkątna (czyli te wspomniane schodki)?

[tometomek91]

No teraz juz łatwo odjąć trzeci wiersz od drugiego pomnożonego przez \(\displaystyle{ \frac{10}{12}}\), tedy trzeci wiersz ma same zera, podobnie odjemujemy czwarty od drugiego i mamy
\(\displaystyle{ M_g=\left[\begin{array}{ccc}1&5&-2\\0&12&-6\\0&0&0\\0&0&0\end{array}\right]}\)