Matematyka.pl

Stosując proces ortogonalizacji Schmidta do podprzestrzeni \(\displaystyle{ V=\text{lin} ((1,1,1,1),(2,0,1,1),(5,1,1,3)}\) przestrzeni unitarnej \(\displaystyle{ R ^{4}}\) wyznacz bazę ortogonalną podprzestrzeni \(\displaystyle{ W}\). Znaleźć rzut prostopadły "w" wektora \(\displaystyle{ v=(6,5,3,0)}\) na podprzestrzeń \(\displaystyle{ W}\)

Wyznaczam najpierw \(\displaystyle{ v _{1}= \frac{(1,1,1,1)}{||w _{1}|| }}\)
\(\displaystyle{ \cos \alpha = \frac{\langle w _{2},v _{1}\rangle }{||w _{2}|| \cdot ||v _{1}|| }}\)

\(\displaystyle{ \cos \alpha = \frac{||x||}{||w _{2}|| }}\)
Może ktoś wytłumaczyć skąd się wzięły powyższe zależności?

Normalizację zostaw na koniec. Proces ortogonalizacji w ogóle znasz?
jako \(\displaystyle{ v_1}\) przyjmujesz dowolny wektor z przestrzeni \(\displaystyle{ V}\) (przyjmijmy że \(\displaystyle{ v_1=(1,1,1,1)}\)
wektor \(\displaystyle{ v_2}\) tworzymy w ten sposób, że od drugiego wektora z \(\displaystyle{ V}\) odejmujemy jego rzut na \(\displaystyle{ v_1}\). Ta operacja gwarantuje nam ortogonalność wektorów \(\displaystyle{ v_1}\) i \(\displaystyle{ v_2}\)
wektor \(\displaystyle{ v_3}\) otrzymujemy odejmując od trzeciego wektora z \(\displaystyle{ V}\) odejmujesz jego rzuty na \(\displaystyle{ v_1}\) i \(\displaystyle{ v_2}\)
To co napisałem zapisanie we wzorkach znajdziesz . Jest tam również rozwiązany przykład.

czym się róźni proces ortogonalizacji bazy od procesu ortonormalizacji bazy? (różnica w obliczeniach)

Mówiąc wprost - ortogonalizacja zapewnia prostopadlość, a normalizacja - jednostkę (czyli długości wektorów bazowych są równe jedności).