Matematyka.pl

W zagadnieniu https://www.matematyka.pl/259837.htm natrafiłem na następujący problem:

mając dane \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} a _{N}&a _{N-1}&...& a_{1}&a_{0}\end{bmatrix}}\) oblicz \(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{N} a _{n}S ^{n}}\), gdzie:

1) \(\displaystyle{ S \in \mathbb R ^{2n+2} _{2n+2}\\}\) jest macierzą blokową o następującej postaci:

\(\displaystyle{ S= \begin{bmatrix} G&nI&0&0&...&0&0&0&0\\0&G&(n-1)I&0&...&0&0&0&0\\0&0&G&(n-2)I&...&0&0&0&0\\...&...&...&...&...&...&...&...&...\\0&0&0&0&...&G&3I&0&0\\0&0&0&0&...&0&G&2I&0\\0&0&0&0&...&0&0&G&I\\0&0&0&0&...&0&0&0&G\end{bmatrix}}\)

2) \(\displaystyle{ \mathbb R^{2}_{2} \ni G = \begin{bmatrix} k&\beta\\-\beta&k \end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ k,\beta \in \mathbb R}\)

Macierz S nie jest o ile wiem diagonalizowalna, a zazwyczaj \(\displaystyle{ n+1>>N}\), więc obliczanie wielomianu charakterystycznego i twierdzenie Cayleya-Hamiltona niewiele dają. Czy jest wobec tego jakaś metoda obliczania powyższej sumy?

Z góry dziękuję za pomoc.

Coś mi na starcie nie pasuje - jeśli wymiar macierzy jest zależny od n i to n zmienia się pod sumą, to kolejne składniki sumy będą macierzami coraz większego wymiaru, a więc nijak nie da się ich dodać.
Strzelam więc, że trzeba indeksację zmienić.
Słusznie podejrzewasz natomiast, że macierz ta nie jest diagonalizowalna. Jaka metoda? Pierwsze co się narzuca, to policzyć pierwszych kilka potęg i zauważyć jakąś zależność rekurencyjną. Dobrze też skorzystać z faktu, że G jest izomorficzna z liczbą zespoloną \(\displaystyle{ k + i\beta}\), którą to można znormalizować i zamienić na postać trygonometryczną, co się bardzo przyjemnie potęguje.

Przyznaję bez bicia że zawsze z indeksacją mam problem, a liter w alfabecie czasem mało.

A co do reszty problemu, to dostrzegłem też, że macierz \(\displaystyle{ G}\), tak samo jak i wielokrotności macierzy należących do macierzy blokowej \(\displaystyle{ \mathbb R^{2}_{2} \ni I_{2}}\) są izomorficzne z liczbami zespolonymi, i udało mi się doprowadzić wzór na \(\displaystyle{ S}\) do prostszej formy:

\(\displaystyle{ S=G \oplus \oplus \begin{bmatrix} 0&n&0&...&0&0&0\\0&0&n-1&...&0&0&0\\0&0&0&...&0&0&0\\...&...&...&...&...&...&...\\0&0&0&...&0&2&0\\0&0&0&...&0&0&1\\0&0&0&...&0&0&0 \end{bmatrix}}\),

gdzie \(\displaystyle{ \oplus \oplus}\) oznacza sumę Kroneckera, ... necker_sum, lepszego symbolu w instrukcji Latexa nie znalazłem :/

teraz poszukuję jakiś właściwości sumy Kroneckera, które pomogłyby mi w potęgowaniu drugiego składnika tej sumy, bo potęgi \(\displaystyle{ G}\) oraz jakichkolwiek \(\displaystyle{ I}\) są trywialne.

Edit:

nazwijmy drugi składnik powyższej sumy Kroneckera \(\displaystyle{ \mathbb R^{k}_{k} \ni \mathbb M_{k};\\m_{i,j}= (k-j)\delta_{i-1,j}}\) gdzie i oznacza nr kolumny, a j numer wiersza. W powyższym przykładzie za \(\displaystyle{ k}\) przyjąłem \(\displaystyle{ n+1}\).

W takim razie:

\(\displaystyle{ S_{n}^{l}=(G\oplus \oplus \mathbb M_{n+1})^{l} = {l\choose 0}(\mathbb M^{l}_{n+1}\otimes I_{2}) + {l\choose 1}G\oplus\oplus \mathbb M^{l-1}_{n+1}+...\\+{l\choose m}G^{m}\oplus\oplus \mathbb M^{l-m}_{n+1} + ... + {l\choose l-1}G^{l-1}\oplus\oplus \mathbb M_{n+1} + {l\choose l}(I_{n+1} \otimes G^{l})}\),
gdzie \(\displaystyle{ \otimes}\)oznacza iloczyn Kroneckera. Wszystkie wyrazy szeregu poza pierwszym i ostatnim udało się sprowadzić do odpowiednich sum Kroneckera.

To czy nie wystarczy własność "mieszanych iloczynów"?
Masz tam podane, że jeśli A, B, C i D są macierzami odpowiednich wymiarów, to zachodzi wzór:
\(\displaystyle{ (A \otimes B)(C \otimes D) = AC \otimes BD}\)
W naszym przypadku miałbyś więc wzór (który można dowieść łatwo indukcyjnie):
\(\displaystyle{ S^{n} = G^{n} \otimes J^{n},}\)
gdzie J to jest ta druga macierz z malejącym ciągiem arytmetycznym nad przekątną.

Ale \(\displaystyle{ S}\) nie jest iloczynem Kroneckera tych dwóch macierzy, ale sumą Kroneckera...

btw, pierwszy i ostatni wyrazy sumy:

\(\displaystyle{ {l\choose 0}(\mathbb M^{l}_{n+1}\otimes I_{2})+{l\choose l}(I_{n+1}\otimes G^{l})=G^{l}\oplus\oplus \mathbb M^{l}_{n+1}}\).

Sorry - trzeba czytać ze zrozumieniem niestety.
Suma jak widać tam nie ma takich fajnych własności, a ja nie widzę, jak to dalej przy jej pomocy pociągnąć.
Musisz czekać na kogoś mądrzejszego.

Na dobrą sprawę jedyną trudnością jest znajdowanie \(\displaystyle{ \mathbb M^{m}_{k}}\) dla dowolnego \(\displaystyle{ m, k}\), ale ten wyraz Newtona trochę tu bruździ, nie mówiąc już o parametrach \(\displaystyle{ a}\)...

Ano właśnie.
Dlatego w "międzyczasie" polecam spróbować "klasycznie napałowo".

Zadałem to samo pytanie na jakimś zagranicznym forum (ograniczając się tylko do problemu z \(\displaystyle{ \mathbb M^{m}_{k}}\)) i dostałem następującą odpowiedź:

Niech i będzie indeksem wiersza, a j indeksem kolumny.

\(\displaystyle{ \mathbb N^{k}_{k} \ni \mathbb M_{k}:\\ j=i+1 \rightarrow \{\mathbb M_{k}\}_{i,j}=k-i\\ j \neq i+1 \rightarrow \{\mathbb M_{k}\}_{i,j}=0.}\)

więc potraktujmy \(\displaystyle{ \mathbb M_{k}}\) za \(\displaystyle{ \mathbb M^{1}_{k}}\), co pociąga

\(\displaystyle{ j=i+m \rightarrow \{\mathbb M^{m}_{k}\}_{i,j}= \prod_{a=0}^{m-1} (k-i-a)\\ j \neq i+m \rightarrow \{\mathbb M^{m}_{k}\}=0.}\)

Niewiele to pomogło, ale dobry początek.-- 22 sie 2011, o 21:54 --

Rogal pisze:(...)Suma jak widać tam nie ma takich fajnych własności(...)

Wręcz przeciwnie

Niech \(\displaystyle{ A,C \in \mathbb K^{n}_{n}}\) i \(\displaystyle{ B,D \in \mathbb K^{m}_{m}.}\)

Weźmy wyrażenie \(\displaystyle{ A\oplus\oplus B+C\oplus\oplus D}\) i przekształćmy z definicji:

\(\displaystyle{ A \oplus \oplus B + C \oplus \oplus D =\\ I_{m} \otimes A + B \otimes I_{n} + I_{m} \otimes C + D \otimes I_{n}= I_{m} \otimes (A+C) + (B+D) \otimes I_{n} =\\ (A+C) \oplus \oplus (B+D).}\)

Podobnie można udowodnić że \(\displaystyle{ a(A\oplus \oplus B) = (aA) \oplus \oplus (aB).}\)