liniowa niezależność

anetaaneta1 · Post autor: **anetaaneta1** » 18 sie 2011, o 20:07

Wykazać że każdy podzbiór zbioru wektorów liniowo niezależnych jest również zbiorem wektorów liniowo niezależnych
nie wiem w ogóle jak się za to zabrać

Z góry dzięki

Lorek · Post autor: **Lorek** » 18 sie 2011, o 22:45

Można niewprost.

anetaaneta1 · Post autor: **anetaaneta1** » 19 sie 2011, o 09:47

ale jak nie wprost ?? niewiem wogóle jak zacząć

bartek118 · Post autor: **bartek118** » 19 sie 2011, o 10:20

Niech

\(\displaystyle{ v_{1},\ v_{2},\ ...,\ v_{n}}\) będzie układem liniowo niezależnym, oraz

\(\displaystyle{ v_{k_{1}},\ v_{k_{2}},\ ...,\ v_{k_{m}}}\) pewnym podzbiorem powyższego układu. I przypuśćmy, że ten podzbiór jest liniowo zależny - co to oznacza?

anetaaneta1 · Post autor: **anetaaneta1** » 19 sie 2011, o 10:41

oznacza to że kombinacja tych wektorów zeruje się ale skalary nie są zerem nie wszystkie

Lorek · Post autor: **Lorek** » 19 sie 2011, o 11:41

No to teraz dodaj do tej kombinacji pozostałe wektory ze zbioru liniowo niezależnego ze skalarami równymi 0. Zmieni się coś?

anetaaneta1 · Post autor: **anetaaneta1** » 19 sie 2011, o 12:16

dalej bedzie liniowo zależny ?

Lorek · Post autor: **Lorek** » 19 sie 2011, o 13:41

Odpowiedź jest poprawna, pytanie tylko czy zgadnięta czy jednak wywnioskowana

Czyli otrzymałaś, że cały zbiór jest liniowo zależny, a jakie było założenie?

anetaaneta1 · Post autor: **anetaaneta1** » 19 sie 2011, o 17:15

ze \(\displaystyle{ v_1,...v_n}\)jest liniowo niezależny

bartek118 · Post autor: **bartek118** » 19 sie 2011, o 17:20

chwila, chwila, bo raz mówisz, że

dalej bedzie liniowo zależny ????

A potem

ze \(\displaystyle{ v_1,...v_n}\) jest liniowo niezależny

To jak w końcu?

anetaaneta1 · Post autor: **anetaaneta1** » 19 sie 2011, o 17:23

sorki zle napisałam miałam na myśli liniowo zależny

bartek118 · Post autor: **bartek118** » 19 sie 2011, o 17:35

No właśnie, a jakie mamy założenie?

tometomek91 · Post autor: **tometomek91** » 19 sie 2011, o 17:44

Trochę się namieszało
Moje pytanie dotyczy jednak czego innego:

anetaaneta1 pisze:Wykazać że każdy podzbiór zbioru wektorów...

Co, jeśli ten zbiór będzie nieskończony?

Piotr Pstragowski · Post autor: **Piotr Pstragowski** » 19 sie 2011, o 18:01

bartek118 pisze:Niech

\(\displaystyle{ v_{1},\ v_{2},\ ...,\ v_{n}}\) będzie układem liniowo niezależnym, oraz

\(\displaystyle{ v_{k_{1}},\ v_{k_{2}},\ ...,\ v_{k_{m}}}\) pewnym podzbiorem powyższego układu. I przypuśćmy, że ten podzbiór jest liniowo zależny - co to oznacza?

Nie ma zadnego zalozenia, ze ten zbior jest skonczony.

Niech

\(\displaystyle{ B \subseteq A \subseteq V}\)

to A jest liniowo niezalezny wtedy i tylko wtedy, gdy funkcja

\(\displaystyle{ k^{\oplus A} \rightarrow V}\)

zadana jednoznacznie przez liniowosc i

\(\displaystyle{ k^{\oplus A} \ni a \Rightarrow a \in V}\)

jest roznowartosciowa. Ale

\(\displaystyle{ k^{\oplus B} \rightarrow V}\)

jest obcieciem tej funkcji dla A, bo sa zadane tym samym wzorem, a obciecie funkcji roznowartosciowej jest roznowartosciowe, co dowodzi liniowej niezaleznosci B.