funkcjonał dwuliniowy

[kalik]

Funkcjonał dwuliniowy \(\displaystyle{ f:\mathbb{R}^{2}\times \mathbb{R}^{3}\rightarrow \mathbb{R}}\) ma w bazach kanonicznych przestrzeni \(\displaystyle{ \mathbb{R}^{2}}\) i \(\displaystyle{ \mathbb{R}^{3}}\) formę \(\displaystyle{ x_{1}y_{1}+x_{1}y_{2}-x_{1}y_{3}+3x_{2}y_{1}+4x_{2}y_{2}-5x_{2}y_{3}.}\) Znaleźć formę tego funkcjonału w bazach \(\displaystyle{ B=([7,-2],[3,-1])}\) i \(\displaystyle{ C=([2,1,1],[1,1,1],[1,0,1])}\)

[fon_nojman]

Bierzesz dowolne \(\displaystyle{ x_B=(x_1,x_2)_B, y_C=(y_1,y_2,y_3)_C}\) czyli wektory z \(\displaystyle{ \mathbb{R}^{2}}\) i \(\displaystyle{ \mathbb{R}^{3}}\) w odpowiednich bazach. W bazach kanonicznych będą one wyglądać tak

\(\displaystyle{ (x_1,x_2)_B=x_1(7,-2)+x_2(3,-1)=(7x_1+3x_2, -2x_1-x_2)}\)

\(\displaystyle{ (y_1,y_2,y_3)_C=y_1(2,1,1)+y_2(1,1,1)+y_3(1,0,1)=\\
=(2y_1+y_2+y_3, y_1+y_2, y_1+y_2+y_3)}\)

zatem

\(\displaystyle{ f(x_B, y_C)=f((7x_1+3x_2, -2x_1-x_2),(2y_1+y_2+y_3, y_1+y_2, y_1+y_2+y_3))=\ldots}\)

[kalik]

Ja wybrałem inną metodę, ale dobrze też znać drugą, więc dzięki.
Zrobiłem to tak:
\(\displaystyle{ A=\begin{bmatrix} 1 &1 &-1 \\ 3&4 &-5 \end{bmatrix}}\) - macierz odwzorowania

\(\displaystyle{ B=\begin{bmatrix} 7 &3 \\ -2&-1 \end{bmatrix}}\) - macierz przejścia z bazy kanonicznej do podanej bazy

\(\displaystyle{ C=\begin{bmatrix} 2&1 &1 \\ 1&1 &0 \\ 1&1 &1 \end{bmatrix}}\) - macierz przejścia z bazy kanonicznej do podanej bazy

\(\displaystyle{ A'=B^{T}AC}\)

Moje pytanie dotyczy kolejności mnożenia tych macierzy, która kolejnośc jest właściwa (bo chyba nie jest dowolna) i dlaczego?

[fon_nojman]

Kolejność dobra ale powinno być \(\displaystyle{ B-}\) macierz przejścia z podanej bazy do bazy kanonicznej, \(\displaystyle{ C-}\) macierz przejścia z podanej bazy do bazy kanonicznej.

Postać \(\displaystyle{ A'=B^{T}AC}\) bierze się stąd, że nasz funkcjonał można zapisać jako \(\displaystyle{ f(x_B,y_C)=\langle Bx_B, ACy_C\rangle=\langle x_B, B^{T}ACy_C\rangle.}\)

[kalik]

Jesteś pewien że te macierze przejścia są prawidłowo przec Ciebie zapisane? Macierz przejścia jest chyba od starej bazy do nowej, a starą bazą jest tutaj baza kanoniczna, dobrze myślę? Mimo wszystko wynik wychodzi nieprawidłowy. Dobrze wychodzi tylko wtedy, gdy najpierw wymnożę macierze A i C a następnie pomnożę przez B(transponowane).
Mógłbyś to sprawdzić?

[fon_nojman]

Wszystko jest dobrze. Pokaż jakie konkretne (ze wstawionymi liczbami) macierze mnożysz przez siebie to poszuka się błędu.

[kalik]

rzeczywiście zgadza się, dzięki