wektor prostopadły do przestrzeni

[aiwatko]

Witam, oto mam takie zadanie:

Niech \(\displaystyle{ V=lin \{ (1,0,2,-1),(2,1,-1,1),(-1,1,1,0) \}\subset \mathbb{R}^4}\). Przedstawić wektor \(\displaystyle{ w= \left( 5,4,2,4 \right)}\) w postaci sumy dwóch wektorów \(\displaystyle{ w=v+u}\) takich, że \(\displaystyle{ v\in V}\) i \(\displaystyle{ u\perp V}\).

I tu się pojawia moje pytanie, bo na ćwiczeniach nie robiliśmy nic z wektorami w \(\displaystyle{ \mathbb{R}^4}\) tylko w przestrzeni trójwymiarowej a na kolokwium pojawiło się takie zadanie. Jak wyznaczyć wektor \(\displaystyle{ u}\)? Gdyby to było \(\displaystyle{ \mathbb{R}^3}\) to byłoby prosto, byłby on równoległy do iloczynu wektorowego dwóch wektorów bazy. A tak?

Jeszcze przy okazji pytanie. Jak wykazać, dana przestrzeń jest ortogonalna?

[fon_nojman]

Ułóż układ równań:
\(\displaystyle{ \langle (1,0,2,-1), u\rangle=0}\)
\(\displaystyle{ \langle (2,1,-1,1), u\rangle=0}\)
\(\displaystyle{ \langle (-1,1,1,0), u\rangle=0.}\)

Jak wykazać, dana przestrzeń jest ortogonalna?

Chodzi o ortogonalność jednej przestrzeni do drugiej czy sprawdzenie czy przestrzeń jest przestrzenią ortogonalną?

[aiwatko]

dziękuję , zrozumiałam, że zamiast \(\displaystyle{ u}\) mam podstawić wektor z 4 dowolnymi literami i potem z układu je wyznaczę i to będą współrzędne wektora \(\displaystyle{ u}\). Tylko, że to będą 4 niewiadome a 3 równania... Nie jestem pewna czy z tego wyjdzie wektor w \(\displaystyle{ R^4}\). Na pewno wyjdzie parametr, co z nim zrobić? przyjąć za niego \(\displaystyle{ 1}\)? Czy w \(\displaystyle{ R^3}\) i \(\displaystyle{ R^5}\) też zadziałałaby taka metoda?

Odnośnie przestrzeni podam zadanie z tego samego kolokwium:(w zadaniu właśnie nie jest sprecyzowane czy mam badać je względem siebie czy same w sobie)
\(\displaystyle{ a)}\)Wykazać, że przestrzenie liniowe \(\displaystyle{ V_1}\) i \(\displaystyle{ V_2}\) są ortogonalne.
\(\displaystyle{ V_1=\{(x_1, x_2, x_3, x_4))\in R^4:2x_1-x_2+3x_3+x_4=0,6x_1+2x_2-x_3+3x_4=0 \}}\),
\(\displaystyle{ V_2=lin\{(2,-2,5,1),(2,2,-3,1) \}}\).
\(\displaystyle{ b)}\) Wyznaczyć bazy ortogonalne przestrzeni liniowych \(\displaystyle{ V_1}\) i \(\displaystyle{ V_2}\)

[fon_nojman]

Ten wektor \(\displaystyle{ u}\) co wyjdzie z układu równań to ogólna postać wektora prostopadłego do \(\displaystyle{ V,}\) będzie zależny od jednego parametru (i tak ma być). Na pewno będzie wektorem z \(\displaystyle{ \mathbb{R}^4}\) Dla ułatwienia rachunków można zapisać przestrzeń \(\displaystyle{ V}\) w innej postaci wyznaczyć wszystkie \(\displaystyle{ v}\) prostopadłe do naszego "ogólnego" \(\displaystyle{ u}\) (rozwiązać \(\displaystyle{ \langle u, v\rangle=0}\))- ten krok nie jest potrzebny ale ładniej będą wyglądać rachunki.

Później wyliczamy nasze konkretne wektory \(\displaystyle{ u,v}\) z zależności \(\displaystyle{ (5,4,2,4)=u+v.}\)

Czy w \(\displaystyle{ R^3}\) i \(\displaystyle{ R^5}\) też zadziałałaby taka metoda?

W \(\displaystyle{ \mathbb{R}^n}\) też działa taka metoda.

Odnośnie przestrzeni podam zadanie z tego samego kolokwium:(w zadaniu właśnie nie jest sprecyzowane czy mam badać je względem siebie czy same w sobie)
\(\displaystyle{ a)}\)Wykazać, że przestrzenie liniowe \(\displaystyle{ V_1}\) i \(\displaystyle{ V_2}\) są ortogonalne.
\(\displaystyle{ V_1=\{(x_1, x_2, x_3, x_4))\in R^4:2x_1-x_2+3x_3+x_4=0,6x_1+2x_2-x_3+3x_4=0 \}}\),
\(\displaystyle{ V_2=lin\{(2,-2,5,1),(2,2,-3,1) \}}\).
\(\displaystyle{ b)}\) Wyznaczyć bazy ortogonalne przestrzeni liniowych \(\displaystyle{ V_1}\) i \(\displaystyle{ V_2}\)

Czyli w a) trzeba sprawdzić czy dowolny wektor \(\displaystyle{ v_1\in V_1}\) jest prostopadły do \(\displaystyle{ v_2\in V_2.}\)

[aiwatko]

Rzeczywiście, ten sposób na wyznaczenie \(\displaystyle{ u}\)działa wyszedł jeden wektor zerowy i jeden zależny od parametru np. \(\displaystyle{ (0,-1,1,2)}\)

i teraz biorę dowolny wektor z \(\displaystyle{ V}\) i próbuję zapisać kombinację liniową, np. \(\displaystyle{ \alpha v_3+\beta u=w}\) i mi wychodzi układ sprzeczny, czemu?


Odnośnie przestrzeni ortogonalnej, dziękuję:)

[fon_nojman]

Źle policzyłaś \(\displaystyle{ u.}\) Zapis kombinacji linowej też niedobry, powinno być
\(\displaystyle{ w=u(t)+a(1,0,2,-1)+b(2,1,-1,1)+c(-1,1,1,0)}\)
i wyznaczasz odpowiednie \(\displaystyle{ t,a,b,c.}\) Ten układ nie może być sprzeczny i musi mieć dokładnie jedno rozwiązanie.

PS: \(\displaystyle{ u(t)}\) to wektor \(\displaystyle{ u}\) zależny od parametru \(\displaystyle{ t.}\)

[aiwatko]

Dziękuję, a jeśli wektor \(\displaystyle{ u}\) wyszedł z ułamkami, to mogę go pomnożyć przez stałą? czy potem muszę liczyć układ z ułamkami?

[fon_nojman]

Można przemnożyć.

[aiwatko]

Czyli może być takie \(\displaystyle{ u}\) jak napisałam wyżej, np.\(\displaystyle{ (0,-1,1,2)}\) a potem parametr t i tak się wyliczy z tego dużego układu równań, tak?

[fon_nojman]

Tak.

Ciekawi mnie jak wyliczyłaś taki wektor bo od razu powinno wyjść \(\displaystyle{ u}\) zależne od parametru? Wcześniej myślałem, że jest źle policzony ale teraz widzę, że jest ok.