układ pięciu równań

[withdrawn]

Witam, mam problem z zadankiem, mam do niego kilka pytan i prosilabym kogos o pomoc

Dany jest układ pięciu równań liniowych z trzema niewiadomymi \(\displaystyle{ x}\),\(\displaystyle{ y}\),\(\displaystyle{ z}\).
Wiadomo,że jednym z równań układu jest równanie \(\displaystyle{ x+y+z=3}\) oraz, że trójki:
\(\displaystyle{ (x,y,z)=(3,0,0)}\) i \(\displaystyle{ (x,y,z)=(0,3,0)}\) są rozwiązaniami danego układu. Czy stąd wynika, że:
a) trójka \(\displaystyle{ (x,y,z)=(0,2,1)}\) nie jest rozwiązaniem układu równań;
b) trójka \(\displaystyle{ (x,y,z)=(0,1,2)}\) jest rozwiazaniem ukladu rownan;
c) trójka \(\displaystyle{ (x,y,z)=(3,3,0)}\) nie jest rozwiązaniem ukladu równań;
d) trójka \(\displaystyle{ (x,y,z)=(1,2,0)}\) jest rozwiazaniem ukladu rownan.

Z tego typu zadaniami mam czasami problem..ponieważ po pierwsze myślę sobie że warunek pierwszy tzn: \(\displaystyle{ x+y+z=3}\) musi być spełniony co znaczy,że podpunkt c) go nie spełnia, a więc odpowiedź w nim brzmi TAK. ale z drugiej strony trójka \(\displaystyle{ (x,y,z)=(3,3,0)}\) jest kombinacją liniową trójek,które są rozwiazaniem ukladu...bo \(\displaystyle{ (3,0,0)+(0,3,0)=(3,3,0)}\) to tak jakby ta trojka byla jednak rozwiazaniem,czyli w c) odpowiedź NIE,a w odpowiedziach jednak mam rzeczywiście odpowiedz TAK mam nadzieje,ze ktos zrozumial moj problem;p
Dalej w podpunkcie d) trójka \(\displaystyle{ (x,y,z)=(1,2,0)}\) jest kombinacją liniową trójek \(\displaystyle{ (3,0,0)}\) i \(\displaystyle{ (0,3,0)}\) dla \(\displaystyle{ a=\frac{1}{3}}\) oraz \(\displaystyle{ b=\frac{2}{3}}\) i odpowiedz tutaj jest TAK, co oznacza ze co.. w tym podpunkcie moge korzystac z tego warunku liniowej zaleznosci a w podpunkcie c) juz nie?;// chyba mam problem z tym zadaniem;/
jesli z tych warunkow liniowej zaleznosci skorzystam tez w podpunkcie a) i b) to niestety nie wyjda mi poprawne odpowiedzi.. a poprawne odpowiedzi do tego zadania to:

a) NIE
b)NIE
c)TAK
d)TAK

Prosze o pomoc.. jak sobie radzic w tego typu zadaniach:)

[Chromosom]

w przypadkach A, B, D równanie jest spełnione, w przypadku C zachodzi sprzeczność, i nie łączyłbym tego z kombinacją liniową - w ten sposób można by udowodnić że \(\displaystyle{ a\neq b\Rightarrow a=b}\)

[withdrawn]

no jednak chyba trzeba troche laczyc bo ja tego spelnienia nie widzę.
jezeli tylko na warunek ktory spelnia rownanie bym sie powolywala to w b) na pewno nie jest odpowiedz NIE.
prosilabym jesli to mozliwe przeczytanie moich watpliwosci i odpowiedzenie na nie.

[Chromosom]

jezeli tylko na warunek ktory spelnia rownanie bym sie powolywala to w b) na pewno nie jest odpowiedz NIE.

ten punkt spełnia równanie, podstaw odpowiednie wartości \(\displaystyle{ x,y,z}\)

[withdrawn]

nie rozumiesz, on spelnia rownanie, a wiec jest rozwiazaniem, czyli dla ciebie odpowiedz TAK.
a odpowiedz ma byc NIE.
czy ja czegos nie rozumiem w Twoim rozumowaniU>

[miodzio1988]

zrób to co kolega Chromosom mówi.

[Chromosom]

zrób to co kolega Chromosom mówi.

To po pierwsze. Po drugie, liczba rozwiązań układu równań liniowych:
- może wynosić 0 jeśli układ jest sprzeczny, jest tak często (ale nie zawsze) w przypadku gdy równań jest więcej niż niewiadomych
- może wynosić 1 jeśli układ jest oznaczony, czyli zawiera tyle samo niezależnych równań ile jest niewiadomych
- może wyrażać się zbiorem nieskończonym, na przykład prostą.
Nie ma zatem możliwości żeby układ równań liniowych miał dwa rozwiązania, chyba że w tym zadaniu inaczej rozumie się pojęcie rozwiązania układu równań. Przepisz dokładnie całą treść zadania tak jak jest w podręczniku.

[withdrawn]

w takim razie dla ciebie odpowiedzi do tego zadania sa inne niz w kluczu moich odpowiedzi.
zadanie spisane jest kropka w kropke z egzaminu.-- 20 sie 2011, o 00:53 --PODOBNE ZADANIE, W KTÓRYM RÓWNIEŻ MAM PROBLEM BRZMI NASTĘPUJĄCO:
Dany jest uklad trzech równań liniowych jednorodnych z trzema niewiadomymi \(\displaystyle{ x,y,z}\). Wiadomo, że jednym z równań układu jest równanie: \(\displaystyle{ x + y + z = 0}\) oraz, że trójka \(\displaystyle{ (x,y,z) = (1,-1,0)}\) jest rozwiązaniem danego układu.
Czy stąd wynika,że:
a) trójka \(\displaystyle{ (x,y,z) = (3,-2,-1)}\) nie jest rozwiazaniem ukladu rownan
b) trojka \(\displaystyle{ (x,y,z) = (2,-1,-1)}\) jest rozwiazaniem ukladu rownan
c) trojka \(\displaystyle{ (x,y,z) = (3,-3,0)}\) jest rozwiazaniem ukladu rownan
d) trojka \(\displaystyle{ (x,y,z) = (3,-2,1)}\) nie jest rozwiazaniem ukladu rownan

i co? tutaj pewna jestem podpunktu c) ponieważ skoro trójka \(\displaystyle{ (x,y,z) = (1,-1,0)}\) jest rozwiązaniem danego układu to ta trojka pomnozona przez 3 daje nam \(\displaystyle{ (x,y,z) = (3,-3,0)}\) co rowniez jest rozwiazaniem ukladu.
a co z resztą? wszystkie podpunkty spelniają rownanie: \(\displaystyle{ x + y + z = 0}\)
a odpowiedzi do nich sa następujące:
a) NIE
b) NIE
c) TAK
d) TAK

[Qń]

z drugiej strony trójka \(\displaystyle{ (x,y,z)=(3,3,0)}\) jest kombinacją liniową trójek,które są rozwiazaniem ukladu...bo \(\displaystyle{ (3,0,0)+(0,3,0)=(3,3,0)}\) to tak jakby ta trojka byla jednak rozwiazaniem

Ale przestrzeń rozwiązań układu równań liniowych niejednorodnych nie jest na ogół przestrzenią liniową, w szczególności więc zazwyczaj suma rozwiązań takiego układu nie musi być rozwiązaniem. Więc ten argument nie ma sensu.

Odpowiedzi z klucza są prawidłowe. W punkcie c) wystarcza Twój poprzedni argument. By uzasadnić, że w a) odpowiedź jest negatywna, wystarczy podać przykład układu: np. niech wszystkie pięć równań to będą \(\displaystyle{ x+y+z=3}\). Wówczas oczywiście \(\displaystyle{ (0,2,1)}\) jest rozwiązaniem. Odpowiedź negatywna w b) też wynika z kontrprzykładu: dorzućmy do danego równania cztery równania \(\displaystyle{ x+y=3}\). Wówczas założenia się zgadzają, a \(\displaystyle{ (0,1,2)}\) nie jest rozwiązaniem.

Najciekawszy jest podpunkt d). Każde z pozostałych równań jest postaci \(\displaystyle{ ax+by+cz=d}\). Skoro dwie podane trójki je spełniają, to znaczy, że \(\displaystyle{ 3a=3b=d}\). W takim razie takie równanie jest postaci \(\displaystyle{ dx+dy+3cz=3d}\) i istotnie jest spełnione przez trójkę \(\displaystyle{ (1,2,0)}\)

Q.