Macierz dołączona do wielomianu

[Piotr Pstragowski]

Wczoraj natrafiłem na następujące zdanie - Każdy wielomian jest wielomianem charakterystycznym swojej macierzy dołączonej.. Nie słyszałem nigdy o pojęciu "macierzy dołączonej do wielomianu", dlatego prosiłbym o możliwe odwołania do literatury.

Interesuje mnie problem:
Mając wielomian, znaleźć macierz której jest on wielomianem charakterystycznym.

Jak najłatwiej skonstruować taką macierz?
Jest mi to potrzebne tylko nad liczbami zespolonymi (do dowodu Zasadniczego Twierdzenia Algebry), ale konstrukcje działające nad dowolnym ciałem / pierścieniem przemiennym będą bardzo mile widziane.

(Dodatkowa uwaga: jako, że to element dowodu Zasadniczego Twierdzenia Algebry, powoływanie się na algebraiczną domkniętość liczb zespolonych (Rozłóżmy wielomian na czynniki, weźmy macierz diagonalną...) nie wchodzi w grę).

[Wasilewski]

Pewnie chodzi o takie coś: https://www.matematyka.pl/164164.htm#p611586.

[Piotr Pstragowski]

To jest super, pozdrawiam!

[xiikzodz]

Mógłbyś opisać w kilku słowach przebieg tego dowodu zasadniczego twierdzenia algebry z użyciem wielomianu charakterystycznego?

[Piotr Pstragowski]

(Będę wdzięczny za wskazanie ewentualnych błędów.)

Wystarczy mi pokazać, że każdy wielomian (dodatniego stopnia) nad \(\displaystyle{ \mathbb{C}}\) ma pierwiastek. Jako, że każdy wielomian stopnia \(\displaystyle{ n+1}\) jest wielomianem charakterystycznym pewnej macierzy (wyżej), wystarczy mi pokazać, że każde przekształcenie liniowe \(\displaystyle{ \mathbb{C}^{n+1} \rightarrow \mathbb{C}^{n+1}}\) ma eigenwartość.

Będę to dowodził metodami topologii algebraicznej i po drodze powołam się na kilka głębokich (z perspektywy studenta, w każdym razie) twierdzeń. Zwracam uwagę, że topologia algebraiczna dowodzi zasadnicze twierdzenie algebry jako prawie natychmiastowy wniosek z obliczenia grupy podstawowej okręgu. Urok poniższego dowodu polega na tym, że jest istotnie inny, a nie, że jest "istotnie lepszy".

Ustalmy przekształcenie liniowe \(\displaystyle{ f: \mathbb{C}^{n+1} \rightarrow \mathbb{C}^{n+1}}\). Z liniowości wynika, że \(\displaystyle{ f}\) indukuje ciągłe przekształcenie:

\(\displaystyle{ f*: \mathbb{CP}^n->\mathbb{CP}^n}\)

\(\displaystyle{ \mathbb{CP}^n}\) jest zwartą rozmaitością zespoloną, w szczególności orientowalną.

Wiem, że \(\displaystyle{ f}\) ma eigenwartość wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ f*}\) ma punkt stały. Narzędziem do pokazania istnienia punktu stałego będzie tw. Lefschetza - ... nt_theorem .

(Zwracam uwagę, że w założeniach tw. Lefschetza mamy triangulowalność przestrzeni \(\displaystyle{ X}\). Rozmaitości gładkie są triangulowalne, ale jest to techniczne twierdzenie, którego na zajęciach nie dowodziliśmy.)

\(\displaystyle{ \mathbb{CP}^n}\) dopuszcza CW-strukturę z jedną komórką w każdym parzystym wymiarze (aż do wymiaru \(\displaystyle{ 2n}\)), w szczególności (np. z kompleksu komórkowego) jego homologia jest beztorsyjna, sk. gen., zatem \(\displaystyle{ Hom(H_i,\mathbb{Z})}\) i \(\displaystyle{ H^i}\) są naturalnie izomorficzne z tw. o współczynniku uniwersalnym.

(Kompleks komórkowy -
(Tw. o współczynniku uniwersalnym dla kohomologii - [url=http://en.wikipedia.org/wiki/Universal_]Universal [/url] ... nt_theorem)

Dualność Poincare implikuje, że \(\displaystyle{ H^* (\mathbb{CP}^n)}\) jest izomorficzne z \(\displaystyle{ \mathbb{Z}[t]/(t^n)}\).

(Dualność Poincare - [url=http://en.wikipedia.org/wiki/Poincare_duality%29]Poincare duality)[/url]

\(\displaystyle{ f*}\) indukuje przekształcenie na pierścieniu kohomologii \(\displaystyle{ \mathbb{CP}^n}\), a takie przekształcenie jest wyznaczone przez obraz \(\displaystyle{ t}\) przy podanym wyżej izomorfizmie. Jeśli ktoś sprawdził powyższe linki, w szczególności tw. Lefschetza, może sprawdzić, że naprzemienna suma śladów nie może być zerowa, niezależnie od wyboru obrazu \(\displaystyle{ t}\).

[xiikzodz]

Dzięki. Skąd pochodzi ten dowód?
EDT: Już rozumiem. Świetny dowód.

[Piotr Pstragowski]

Tw. Lefschetza mówi, że o ile naprzemienna suma śladów jest niezerowa, \(\displaystyle{ f*}\) ma punkt stały.

Mnie na to naprowadziło zadanie 45 z tych zadań na egzamin na MIMUW - _ ... a_1011.pdf

Ale nigdy mnie o to zadanie nie zapytano, także proszę brać pod uwagę, że dowód może być błędny.

Uwaga: Gdyby ktoś próbował robić te zadania, ostrzegam, że w zadaniach z algebry homologicznej są subtelne błędy. (Subtelne, bo znikają przy dość słabych założeniach na pierścień - np. skończonego wymiaru.)

Edit: Do mojego rozumowania wkradły się błędy. Dla parzystych \(\displaystyle{ n}\) rozumowanie przechodzi bez zarzutu, poza tym może się okazać, że jednak liczba Lefschetza się zeruje.

Przeczytałem za to o dużo prostszym argumencie. \(\displaystyle{ GL(n+1,\mathbb{C}}\) jest łukowo spójna, więc każde takie indukowane przekształcenie jest homotopijne z identycznością i wtedy liczba Lefschetza to dokładnie charakterystyka Eulera \(\displaystyle{ \mathbb{CP}^n}\).

[xiikzodz]

Tak czy owak mnie się podoba ten pomysł. W wolnej chwili przyjrzeć mu się uważniej i może coś jeszcze tu dopisze. Jeszcze raz dziękuje.