Diagonalizacja dwóch macierzy
: 11 sie 2011, o 23:55
Podane macierze trzeba zdiagonalizować jednocześnie:
Mamy macierze:
\(\displaystyle{ \Omega=\begin{bmatrix} 1&0&1\\0&0&0\\1&0&1\end{bmatrix}\ \Lambda=\begin{bmatrix} 2&1&1\\1&0&-1\\1&-1&2\end{bmatrix}}\)
Sprawdzamy czy komutują:
\(\displaystyle{ [\Omega,\Lambda]=\Omega\Lambda-\Lambda\Omega=0}\)
Skoro komutują to z twierdzenia wiemy, że istnieje przynajmniej jedna baza w której obie mają postać diagonalną. Trzeba policzyć wartości własne:
Mamy: \(\displaystyle{ \omega=0,0,2 \ \ \ \lambda=2,3,-1}\)
Teraz trzeba wyznaczyć ich wspólne wektory własne:
dla \(\displaystyle{ \Omega}\) i wartości 0 to będzie:
\(\displaystyle{ x_{1}+x_{3}=0 \\\ x_{1}=-x_{3} \\\ x_{2}\ dowolnie}\)
więc pierwszy wektor własny dla wartości 0 będzie w postaci:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} x_{1}\\x_{2}\\-x_{1}\end{bmatrix}}\)
dla wartości 2:
\(\displaystyle{ -x_{1}+x_{3}=0 \\\ x_{1}=x_{3} \\\ x_{2}\ dowolnie}\)
mamy wektor w postaci:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} x_{1}\\x_{2}\\x_{1}\end{bmatrix}}\)
Teraz wektory dla \(\displaystyle{ \Lambda}\), dla poszczególnych wartości mają się tak:
dla 2: \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} x_{1}\\x_{1}\\-x_{1}\end{bmatrix}}\) dla 3: \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} x_{1}\\0\\x_{1}\end{bmatrix}}\) dla -1: \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} x_{1}\\-2x_{1}\\-x_{1}\end{bmatrix}}\)
Nie wiem co dalej zrobić, które są wspólnymi wektorami własnymi? Czy dobrze myślę i są to wektory odpowiadające wartością 2, 3 i -1 dla \(\displaystyle{ \Lambda}\). Wartości dla \(\displaystyle{ \Omega}\) są zdegenerowane więc rozwiązania tworzą dwuwymiarową przestrzeń w której nie wszystkie są ortogonalne. Wektory \(\displaystyle{ \Lambda}\) są jakby pewnym przypadkiem wektorów \(\displaystyle{ \Omega}\) więc chyba są wspólne no i są ortogonalne. Dobrze myślę? Trochę mi się to wszystko miesza, proszę o pomoc
Mamy macierze:
\(\displaystyle{ \Omega=\begin{bmatrix} 1&0&1\\0&0&0\\1&0&1\end{bmatrix}\ \Lambda=\begin{bmatrix} 2&1&1\\1&0&-1\\1&-1&2\end{bmatrix}}\)
Sprawdzamy czy komutują:
\(\displaystyle{ [\Omega,\Lambda]=\Omega\Lambda-\Lambda\Omega=0}\)
Skoro komutują to z twierdzenia wiemy, że istnieje przynajmniej jedna baza w której obie mają postać diagonalną. Trzeba policzyć wartości własne:
Mamy: \(\displaystyle{ \omega=0,0,2 \ \ \ \lambda=2,3,-1}\)
Teraz trzeba wyznaczyć ich wspólne wektory własne:
dla \(\displaystyle{ \Omega}\) i wartości 0 to będzie:
\(\displaystyle{ x_{1}+x_{3}=0 \\\ x_{1}=-x_{3} \\\ x_{2}\ dowolnie}\)
więc pierwszy wektor własny dla wartości 0 będzie w postaci:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} x_{1}\\x_{2}\\-x_{1}\end{bmatrix}}\)
dla wartości 2:
\(\displaystyle{ -x_{1}+x_{3}=0 \\\ x_{1}=x_{3} \\\ x_{2}\ dowolnie}\)
mamy wektor w postaci:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} x_{1}\\x_{2}\\x_{1}\end{bmatrix}}\)
Teraz wektory dla \(\displaystyle{ \Lambda}\), dla poszczególnych wartości mają się tak:
dla 2: \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} x_{1}\\x_{1}\\-x_{1}\end{bmatrix}}\) dla 3: \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} x_{1}\\0\\x_{1}\end{bmatrix}}\) dla -1: \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} x_{1}\\-2x_{1}\\-x_{1}\end{bmatrix}}\)
Nie wiem co dalej zrobić, które są wspólnymi wektorami własnymi? Czy dobrze myślę i są to wektory odpowiadające wartością 2, 3 i -1 dla \(\displaystyle{ \Lambda}\). Wartości dla \(\displaystyle{ \Omega}\) są zdegenerowane więc rozwiązania tworzą dwuwymiarową przestrzeń w której nie wszystkie są ortogonalne. Wektory \(\displaystyle{ \Lambda}\) są jakby pewnym przypadkiem wektorów \(\displaystyle{ \Omega}\) więc chyba są wspólne no i są ortogonalne. Dobrze myślę? Trochę mi się to wszystko miesza, proszę o pomoc