jądro i obraz homomorfizmu

[bartek118]

No to po kolei.

Niech \(\displaystyle{ a \in im h}\). Oznacza to, że istnieje \(\displaystyle{ x}\) taki, że \(\displaystyle{ h(x)=a}\).
Rozpatrzmy \(\displaystyle{ a^{-1}}\).

Policzmy \(\displaystyle{ ah(x^{-1})=h(x)h(x^{-1})=h(xx^{-1})=h(e)=e}\)

Stąd

\(\displaystyle{ ah(x^{-1})=e}\). Czyli \(\displaystyle{ h(x^{-1})=a^{-1}}\), zatem \(\displaystyle{ a^{-1}}\) jest obrazem elementu \(\displaystyle{ x^{-1}}\), czyli \(\displaystyle{ a^{-1} \in im h}\)

[anetaaneta1]

wielkie dzięki za pomoc:)