Baza części wspólnej

[dzb]

Witam, mam problem z pewnym (pewnie prostym) zadaniem z przestrzeni liniowych... Wiem, że jest na nie jakiś prosty sposób, ale niestety nie byłem na tych zajęciach i sam nie mogę do tego dojść.

Oto treść zadania:
Dane są dwa układy wektorów U = \(\displaystyle{ \{ u_{1}, u_{2}, u_{3} \}}\) oraz W = \(\displaystyle{ \{ w_{1}, w_{2}, w_{3} \}}\)
Wektory te zestawiono w macierz i doprowadzono do postaci wierszowo-zredukowanej. Na jej podstawie wyznaczyć bazę:
a) \(\displaystyle{ L(U)}\)
b) \(\displaystyle{ L(W)}\)
c) \(\displaystyle{ L(U \cup W)}\)
d) \(\displaystyle{ L(U \cap W)}\)


Pierwsze dwa są dla mnie dość jasne... trzeba znaleźć maksymalny liniowo niezależny podukład w układach U oraz W.
Punkt c) też jest zrozumiały. Należy znaleźć maksymalny liniowo niezależny podukład w U|W.

Natomiast z czwartym podpunktem mam problem... Wogóle nie mogę dojść jak to zrobić. Czy mógłby ktoś wytłumaczyć to jakoś po kolei co trzeba wykonać? Z góry dzięki za pomoc.

Zapodam niżej przykładową macierz z zadania:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccccc}1&0&0&0&1&2\\0&1&0&0&1&1\\0&0&1&0&0&2\\0&0&0&1&2&3\\\end{array}\right]}\)

[kuch2r]

Skorzystaj z nastepujacej rownosci
\(\displaystyle{ dim(A+B)=dim(A)+dim(B)-dim(A\cap B)}\)

[dzb]

Hmm... Dzięki za zainteresowanie tematem!
Znam tę równość i wychodzi, że \(\displaystyle{ dim(U \cap W) = 2}\) Ale co dalej?

[kuch2r]

A z czym dalej masz problem?? :/

[dzb]

No wydaje mi się, że trzeba znaleźć wektory, które będą w tej bazie... Tylko które to?

[kuch2r]

Niech:
\(\displaystyle{ x\in U\cap W x\in U x\in W}\)
Zalozmy,ze:
\(\displaystyle{ u_1,u_2,\ldots,u_n}\) jest baza U
\(\displaystyle{ v_1,v_2,\ldots,v_m}\) jest baza W
Jesli \(\displaystyle{ x\in U}\) to \(\displaystyle{ x=\alpha_1 u_1 + _2 u_2+ \ldots +\alpha_n u_n}\)
Jesli \(\displaystyle{ x\in W}\) to \(\displaystyle{ x=\beta_1 w_1 + \beta_2 w_2+ \ldots +\beta_m v_m}\)
Otrzymujemy rownosc:
\(\displaystyle{ \alpha_1 u_1 + _2 u_2+ \ldots +\alpha_n u_n=\beta_1 w_1 + \beta_2 w_2+ \ldots +\beta_m v_m}\)
\(\displaystyle{ \alpha_1 u_1 + _2 u_2+ \ldots +\alpha_n u_n-(\beta_1 w_1 + \beta_2 w_2+ \ldots +\beta_m v_m)=0}\)
Ciag dalszy sprowadza sie do rozwiazania ukladu rownan.

[dzb]

Ok, dzięki! Znalazłem jeszcze taki przykład gdzieś w książce i jakoś załapałem...