macierz przekształcenia liniowego

kalik · Post autor: **kalik** » 5 sie 2011, o 16:29

Dana jest macierz przekształcenia liniowego \(\displaystyle{ g:\mathbb{R}^{2}\rightarrow \mathbb{R}^{2}}\) \(\displaystyle{ A=\begin{bmatrix} -1 &1 \\ 2 &0 \end{bmatrix}}\).
Wyznaczyć wszystkie bazy, przy których obrazem wektora \(\displaystyle{ (0,2)}\) jest wektor \(\displaystyle{ (0,-3)}\)-- 5 sie 2011, o 19:00 --wie ktoś jak to zrobić?

bartek118 · Post autor: **bartek118** » 5 sie 2011, o 22:47

Jak rozumiem, macierz jest podana w bazach standardowych?
Moja podpowiedź - obraz tego wektora, to macierz A pomnożona przez wektor

kalik · Post autor: **kalik** » 6 sie 2011, o 09:23

Nie pisze w jakich bazach, więc pewnie chodzi o standardowe. Które działanie masz na myśli w podpowiedzi : \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 0\\-3 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -1&2 \\ 2&0 \end{bmatrix}\times \begin{bmatrix} x\\y \end{bmatrix}}\) ?

bartek118 · Post autor: **bartek118** » 6 sie 2011, o 11:16

Nie, nie. Najpierw oblicz wartość tego odwzorowania na wektorze \(\displaystyle{ (0,2)}\). Czyli przemnóż macierz \(\displaystyle{ A}\) przez wektor \(\displaystyle{ (0,2)}\), wyjdzie wtedy obraz w bazie standardowej. Wtedy trzeba tylko dobrać bazę tak, aby ten wektor miał współrzędne \(\displaystyle{ (0,-3)}\)

kalik · Post autor: **kalik** » 6 sie 2011, o 16:31

obraz tego wektora w bazie standardowej to \(\displaystyle{ (-2,4)}\)
jak mam dobrać bazę? \(\displaystyle{ (0,-3)=-2(a,b)+4(c,d)}\) na tej zasadzie?

bartek118 · Post autor: **bartek118** » 6 sie 2011, o 16:54

Tak, dokładnie. To utworzy Ci układ równań. Pamiętaj tylko jeszcze, że (a,b) i (c,d) muszą być liniowo niezależne

kalik · Post autor: **kalik** » 6 sie 2011, o 22:27

Układ równań utworzy, ale z czterema niewiadomymi. Jak znaleźć zależność miedzy tymi współrzędnymi, bo może ich chyba być nieskończenie wiele, prawda?

bartek118 · Post autor: **bartek118** » 7 sie 2011, o 08:25

Tak będzie ich nieskończenie wiele, ale wiele będzie albo liniowo zależnych itd. no ale jak masz już układ równań, no to tak jak na algebrze liniowej rozwiązujesz go i tyle