Forma kwadratowa, rozpoznanie krzywej

[PAV38]

Mam takie zadanie:

Sprowadzić formę kwadratową do postaci kanonicznej, a następnie zbadać określoność i określić rodzaj krzywej opisanej równaniem: \(\displaystyle{ q(x,y)=1}\). (Chodzi mi o drugą część polecenia)

\(\displaystyle{ q(x,y)= \frac{1}{6} x^{2}+\frac{1}{6}xy- \frac{1}{2} y^{2}}\)

Po sprowadzeniu formy kwadratowej do postaci kanonicznej, otrzymałem:

\(\displaystyle{ q(x,y)= \frac{1}{6}(x+y)^{2}- \frac{2}{3}y^{2}= \frac{1}{6}x'^{2}- \frac{2}{3}y'^{2}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} x'=x+y\\y'=y\end{cases}}\)

Ale, jak zbadać rodzaj krzywej? I co daje nam postać kanoniczna przy "odkrywaniu" krzywej, którą ona opisuje?

EDIT:

Czy postać kanoniczna, daje nam bezpośrednio obraz zadanego równania?

Tzn. jeżeli równaniem hiperboli jest:

\(\displaystyle{ \frac{(x- x_{o})^{2}}{ a^{2}}-\frac{(y- y_{o})^{2}}{ b^{2}}=1}\)

To tu:

\(\displaystyle{ \frac{(x')^{2}}{ (\sqrt{6})^{2}}-\frac{(y')^{2}}{ \sqrt{(\frac{3}{2}})^{2}}=1}\)

I można powiedzieć, że powyższe równanie przedstawia hiperbolę?

Bardzo proszę o pomoc

[szw1710]

Tak jest - mamy tu hiperbolę.

[PAV38]

Czyli ogólnie, jeżeli chcemy określić jaki typ krzywej opisuje forma kwadratowa, musimy wyznaczyć jej postać kanoniczną? Tzn. z postaci kanonicznej wnioskujemy rodzaj krzywej?

[szw1710]

Dobrze prawisz

[PAV38]

Dziękuję za pomoc

To jeszcze jedno pytanko Z tego co się orientuję, wyrazy mieszane \(\displaystyle{ xy}\) odpowiadają, za obrót krzywej w okół osi układu współrzędnych. Można wyznaczyć ten kąt? Jeśli tak, to w jaki sposób?