dwuwymiarowe liniowe podprzestrzenie

[BlueSky]

Czy istnieją trzy dwuwymiarowe liniowe podprzestrzenie \(\displaystyle{ \mathbb {R}^4}\), takie że przekrój każdych dwóch z nich jest podprzestrzenią zerową? Podaj przykład takich trzech podprzestrzeni (ze sprawdzeniem żądanych własności) albo udowodnij, że takie podprzestrzenie nie istnieją.

[Majeskas]

\(\displaystyle{ A: \quad \begin{cases} x_1+x_2=0 \\ x_1-x_2+x_3+x_4=0 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ B: \quad \begin{cases} x_1-x_2=0 \\ x_1+x_2+x_3-x_4=0 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ C: \quad \begin{cases} x_3-x_4=0 \\ x_1+x_2+x_3+x_4=0 \end{cases}}\)

[didn9]

Czy mógłbyś wytłumaczyć dlaczego tak jest? ( dlaczego takie podprzestrzenie)?

[Majeskas]

Nie wiem, co mam dokładnie wytłumaczyć. Dlaczego te przykłady działają? To nie jest trudne do sprawdzenia. Każda z przestrzeni \(\displaystyle{ A,B,C}\) jest podprzestrzenią czterowymiarowej przestrzeni liniowej opisaną dwoma liniowo niezależnymi równaniami, a więc \(\displaystyle{ \dim A=\dim B=\dim C=4-2=2}\). A to, że \(\displaystyle{ A\cap B=A\cap C=B\cap C=\left\{ \vec0\right\}}\) można sprawdzić badając rozwiązania układów równań złożonych z równań opisujących dane dwie podprzestrzenie. W każdym przypadku jedynym rozwiązaniem jest \(\displaystyle{ x_1=x_2=x_3=x_4=0}\).
Dlaczego akurat takie podprzestrzenie? Bo takie sobie wymyśliłem. A dobierałem je tak, żeby układy równań łatwo się rozwiązywało.

[didn9]

Dziękuję za wytłumaczenie:)