Matematyka.pl

Dany jest układ \(\displaystyle{ 17}\) równań liniowych jednorodnych z \(\displaystyle{ 4}\) niewiadomymi. Wiadomo, że wektory \(\displaystyle{ (1,0,0,0)}\) i \(\displaystyle{ (0,1,0,0)}\) są rozwiązaniami danego układu równań, a wektory \(\displaystyle{ (0,0,1,0)}\)i \(\displaystyle{ (0,0,0,1)}\) nie są rozwiązaniami układu równań.
Dlaczego nie wynika stąd, że wektor \(\displaystyle{ (0,0,1,1)}\) nie jest rozwiązaniem danego układu równań?

Jeśli jakieś wektory spełniają jednorodny układ równań, to spełnia go każda ich kombinacja liniowa. Jeśli jakieś wektory takiego układu nie spełniają, nie wynika stąd nic na temat ich kombinacji liniowej: może ona spełniać układ, a może nie spełniać. Prosty przykład: jedno równanie \(\displaystyle{ x+y=0}\). Nie spełniają go wektory \(\displaystyle{ u=(1,0),\;v=(0,1).}\) Wektor \(\displaystyle{ u-v}\) spełnia równanie, a wektor \(\displaystyle{ u+v}\) nie spełnia.