Cześć
Staram się wejść w świat algebry liniowej, ale prawie na początku spotkałem się od razu z rozczarowaniem, otóż robię to zadanie od około 2 dni, ale nie wiem jak w nim coś wywnioskować co da mi końcowy wynik, ale wciąż nie umiem tego zrobić.
Wykaż iż \(\displaystyle{ \sqrt{2} i \sqrt{3}}\)∈R są liniowo niezależne jako wektory nad Q. Pokaż też że są liniowo zależne jako wektory nad R
zadane z algebry liniowej
-
Majeskas
- Użytkownik
- Posty: 1456
- Rejestracja: 14 gru 2007, o 14:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 49 razy
- Pomógł: 198 razy
zadane z algebry liniowej
Liniowa zależność nad \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\):
\(\displaystyle{ \sqrt{3}= \frac{ \sqrt{6} }{2} \cdot \sqrt{2}}\)
Zatem istnieje odpowiedni skalar.
Jeśli te wektory byłyby liniowo zależne nad \(\displaystyle{ \mathbb{Q}}\), istniałby dokładnie jeden taki skalar \(\displaystyle{ a}\), że \(\displaystyle{ \sqrt{3}=a \cdot \sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ a= \frac{ \sqrt{6} }{2} \not\in \mathbb{Q}}\) i mamy sprzeczność. Zatem są one liniowo niezależne nad \(\displaystyle{ \mathbb{Q}}\).
\(\displaystyle{ \sqrt{3}= \frac{ \sqrt{6} }{2} \cdot \sqrt{2}}\)
Zatem istnieje odpowiedni skalar.
Jeśli te wektory byłyby liniowo zależne nad \(\displaystyle{ \mathbb{Q}}\), istniałby dokładnie jeden taki skalar \(\displaystyle{ a}\), że \(\displaystyle{ \sqrt{3}=a \cdot \sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ a= \frac{ \sqrt{6} }{2} \not\in \mathbb{Q}}\) i mamy sprzeczność. Zatem są one liniowo niezależne nad \(\displaystyle{ \mathbb{Q}}\).
