dowód twierdzenia o podgrupie niezmienniczej
-
kalik
dowód twierdzenia o podgrupie niezmienniczej
Może ktoś pomóc udowodnić, że : Relacja zgodna z działaniem \(\displaystyle{ \Leftrightarrow}\) H - podgrupa niezmiennicza ?
-
kalik
-
Natasha
- Użytkownik
- Posty: 986
- Rejestracja: 9 lis 2008, o 15:08
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 97 razy
- Pomógł: 167 razy
dowód twierdzenia o podgrupie niezmienniczej
Jak już zaczęłam, to masz chociaż w jedną stronę. Wszędzie korzystamy z własności \(\displaystyle{ R}\).
\(\displaystyle{ R}\)-relacja zgodna z działaniem.
\(\displaystyle{ aRb \Leftrightarrow ab ^{-1} \in H.}\)
Dowód:
\(\displaystyle{ \Leftarrow}\)
Z. H-podgrupa niezmiennicza. Pokażemy, że R jest zgodna z działaniem.
\(\displaystyle{ aRb \wedge cRd \Rightarrow acRbd}\)?
\(\displaystyle{ aRb \Leftrightarrow ab ^{-1} \in H}\).
\(\displaystyle{ cRd \Leftrightarrow cd ^{-1} \in H}\).
\(\displaystyle{ ab ^{-1} \in H \wedge cd ^{-1} \in H \Rightarrow ac(bd) ^{-1} \in H?}\)
\(\displaystyle{ acd ^{-1}b ^{-1} \in H}\)?
Załóżmy, że istnieje \(\displaystyle{ h _{1} \in H}\) oraz \(\displaystyle{ h _{2} \in H}\). Wtedy \(\displaystyle{ ab ^{-1} \in h _{1}}\), \(\displaystyle{ cd ^{-1} \in h _{2}}\).
Czyli \(\displaystyle{ a=h _{1}b}\), \(\displaystyle{ c=h _{2}d}\).
\(\displaystyle{ acd ^{-1}b ^{-1}=h _{1}b\cdot h _{2}dd ^{-1}b ^{-1}=h_{1}bh _{2}b^{-1} \in H}\), bo \(\displaystyle{ bh _{2}b^{-1} \in H}\).-- 4 lipca 2011, 10:06 --Mówimy, że R jest zgodna z działaniem w grupie, jeśli spełniony jest warunek:
\(\displaystyle{ aRb \wedge cRd \Rightarrow acRbd}\).
\(\displaystyle{ R}\)-relacja zgodna z działaniem.
\(\displaystyle{ aRb \Leftrightarrow ab ^{-1} \in H.}\)
Dowód:
\(\displaystyle{ \Leftarrow}\)
Z. H-podgrupa niezmiennicza. Pokażemy, że R jest zgodna z działaniem.
\(\displaystyle{ aRb \wedge cRd \Rightarrow acRbd}\)?
\(\displaystyle{ aRb \Leftrightarrow ab ^{-1} \in H}\).
\(\displaystyle{ cRd \Leftrightarrow cd ^{-1} \in H}\).
\(\displaystyle{ ab ^{-1} \in H \wedge cd ^{-1} \in H \Rightarrow ac(bd) ^{-1} \in H?}\)
\(\displaystyle{ acd ^{-1}b ^{-1} \in H}\)?
Załóżmy, że istnieje \(\displaystyle{ h _{1} \in H}\) oraz \(\displaystyle{ h _{2} \in H}\). Wtedy \(\displaystyle{ ab ^{-1} \in h _{1}}\), \(\displaystyle{ cd ^{-1} \in h _{2}}\).
Czyli \(\displaystyle{ a=h _{1}b}\), \(\displaystyle{ c=h _{2}d}\).
\(\displaystyle{ acd ^{-1}b ^{-1}=h _{1}b\cdot h _{2}dd ^{-1}b ^{-1}=h_{1}bh _{2}b^{-1} \in H}\), bo \(\displaystyle{ bh _{2}b^{-1} \in H}\).-- 4 lipca 2011, 10:06 --Mówimy, że R jest zgodna z działaniem w grupie, jeśli spełniony jest warunek:
\(\displaystyle{ aRb \wedge cRd \Rightarrow acRbd}\).