Dowód twierdzenia o wyznaczniku transponowanej macierzy.

[lampa123]

Jak można udowodnić twierdzenie , że transpozycja macierzy nie zmienia wartości wyznacznika?

[tometomek91]

Skorzystaj z definicji permutacyjnej.

[lampa123]

W jaki sposób?
Znam tę definicję,

\(\displaystyle{ det A= \sum_{ \sigma} E(\sigma) a_{1 \sigma (1)}...a_{n \sigma (n)}}\)

gdzie \(\displaystyle{ E(\sigma)}\) to znak permutacji.

lecz nie mam pomysłu jak z tej definicji skorzystać.

[Qń]

Wskazówka:
\(\displaystyle{ \det A= \sum_{ \sigma} E(\sigma) a_{1 \sigma (1)}...a_{n \sigma (n)}=\sum_{ \sigma} E(\sigma) a_{ \sigma^{-1} (1),1}...a_{\sigma^{-1} (n),n}=\sum_{ \sigma^{-1}} E(\sigma^{-1}) a_{ \sigma^{-1} (1),1}...a_{\sigma^{-1} (n),n}}\)
Zastanów się jak i dlaczego to działa, a następnie zauważ, że to co na końcu to z definicji właśnie wyznacznik macierzy transponowanej.

Q.

[lampa123]

Nie wiem zupełnie skąd się wzięło to pierwsze przejście, ten końcowy wyznacznik widzę że jest wyznacznikiem macierzy transponowanej lecz mogę prosić o wytłumaczenie pierwszeog przejścia?

[Qń]

Łatwiej będzie zobaczyć to na przykładzie. Dla \(\displaystyle{ \sigma = \begin{pmatrix}1&2&3\\2&3&1\end{pmatrix}}\) mamy:

\(\displaystyle{ a_{1,\sigma (1)} \cdot a_{2,\sigma (2)} \cdot a_{3,\sigma (3)}=a_{1,2} \cdot a_{2,3} \cdot a_{3,1}=\\ =a_{3,1} \cdot a_{1,2} \cdot a_{2,3}=
a_{\sigma^{-1}(1),1} \cdot a_{\sigma^{-1}(2),2} \cdot a_{\sigma^{-1}(3),3}}\)

To prostu inne uporządkowanie indeksów (ze względu na drugą współrzędną, a nie pierwszą).

Q.