Z przekształceń liniowych...

[corner]

Prosiłbym o sposób na zadanie typu:

Dane jest przekształcenie liniowe T:
\(\displaystyle{ R^3 R^2: T(1,3)=(1,1), T(1,1)=(0,1)}\)
Wyznaczyć:
\(\displaystyle{ T(-1,3)}\)

[kuch2r]

\(\displaystyle{ R^3\to R^2}\) czy aby napewno dobrze przepisales tresc zadania ?
Jezeli chodzi Ci o \(\displaystyle{ R^2\to R^2}\), to:
\(\displaystyle{ T(-1,3)=(2,-1)}\)

[corner]

Tak, masz rację, źle przepisałem.

A w jaki sposób liczy się takie zadania?

[kuch2r]

Skoro \(\displaystyle{ T}\) jest przeksztalceniem liniowym \(\displaystyle{ T:R^2\to R^2}\)
Zatem przkesztalcenie \(\displaystyle{ T}\) mozna zadac za pomoca macierzy kwadratowej A o wymiarach \(\displaystyle{ 2\times 2}\)
Niech \(\displaystyle{ A=\left [\begin{array}{cc} a&c \\b&d \end{array}\right ]}\)
Wiemy,ze:
\(\displaystyle{ (1,3) A=(1,1)\\(1,1)A=(0,1)}\)
Wykonujac powyzsze dzialania otrzymamy uklad rownan:
\(\displaystyle{ a+3c=1\\b+3d=1\\a+c=0\\b+d=1}\)
Rozwiazaniem tego ukladu rownan jest nastepujaca czworka liczb:
\(\displaystyle{ a=-\frac{1}{2}\\b=1\\c=\frac{1}{2}\\d=0}\)
Nasza macierz przymuje nastepujaca postac:
\(\displaystyle{ A=\left [\begin{array}{cc} -\frac{1}{2}&1 \\\frac{1}{2}&0 \end{array}\right ]}\)
Obliczamy teraz \(\displaystyle{ T(-1,3)=(-1,3)A=(2,-1)}\)

[corner]

Tak. Ale dla takich danych ten sposób rozwiązania już chyba nie zadziała:

\(\displaystyle{ T: R^2 R^3: T(1,2)=(1,0,1), T(-1,0)=(0,1,1)}\)
Wyznaczyć:
\(\displaystyle{ T(2,1)}\)

[kuch2r]

Nasze przeksztalcenie dziala \(\displaystyle{ T:R^2\to R^3}\)
Czyli nasza macierz A bedzie macierza o wymiarach \(\displaystyle{ 2\times 3}\)
Dalej analogicznie jak powyzej