Rzut ortogonalny wektora na podprzstrzeń
: 1 lip 2011, o 08:25
Witam,
Mam problem z następującym zadaniem:
Znaleźć rzut ortogonalny wektora \(\displaystyle{ V= \left( 7,5,5,-5\right)}\) na podprzestrzeń \(\displaystyle{ W=Lin((1,2,0,2),(3,1,13,1))}\) przestrzeni unitarnej \(\displaystyle{ R^4}\) z kanonicznym iloczynem skalarnym. Gdyby dwa wektory z W były ortogonalne, to wiedziałbym co zrobić. Czy ortogonalizacja tych wektorów metodą Gramma-Schmidta nie spowoduje, że nowo powstałe wektory będą wyznaczały inną płaszczyznę? Z góry dziękuję za pomoc.
-- 1 lip 2011, o 10:49 --
Sprawdziłem i wiem już że po ortogonalizacji Grama-Schmidta nowo powstałe wektory dalej będą rozpinały tą samą płaszczyznę. Jeśli się nie mylę, to do rozwiązania tego zadania wystarczy zatem skorzystać z faktu, że rzut ortogonalny wektora \(\displaystyle{ V}\)na podprzestrzeń rozpiętą przez wektory ortogonalne \(\displaystyle{ e_{1},...,e_{k}}\) wyraża się wzorem: \(\displaystyle{ V_{0}=\frac{\left\langle v,e_{1} \right\rangle}{\left\langle e_{1},e_{1}\right\rangle}*e_{1}+...+\frac{\left\langle v,e_{k} \right\rangle}{\left\langle e_{k},e_{k} \right\rangle}*e_{k}}\). Mógłby to ktoś potwierdzić? Czy może w zadaniu jest jakiś haczyk?
Mam problem z następującym zadaniem:
Znaleźć rzut ortogonalny wektora \(\displaystyle{ V= \left( 7,5,5,-5\right)}\) na podprzestrzeń \(\displaystyle{ W=Lin((1,2,0,2),(3,1,13,1))}\) przestrzeni unitarnej \(\displaystyle{ R^4}\) z kanonicznym iloczynem skalarnym. Gdyby dwa wektory z W były ortogonalne, to wiedziałbym co zrobić. Czy ortogonalizacja tych wektorów metodą Gramma-Schmidta nie spowoduje, że nowo powstałe wektory będą wyznaczały inną płaszczyznę? Z góry dziękuję za pomoc.
-- 1 lip 2011, o 10:49 --
Sprawdziłem i wiem już że po ortogonalizacji Grama-Schmidta nowo powstałe wektory dalej będą rozpinały tą samą płaszczyznę. Jeśli się nie mylę, to do rozwiązania tego zadania wystarczy zatem skorzystać z faktu, że rzut ortogonalny wektora \(\displaystyle{ V}\)na podprzestrzeń rozpiętą przez wektory ortogonalne \(\displaystyle{ e_{1},...,e_{k}}\) wyraża się wzorem: \(\displaystyle{ V_{0}=\frac{\left\langle v,e_{1} \right\rangle}{\left\langle e_{1},e_{1}\right\rangle}*e_{1}+...+\frac{\left\langle v,e_{k} \right\rangle}{\left\langle e_{k},e_{k} \right\rangle}*e_{k}}\). Mógłby to ktoś potwierdzić? Czy może w zadaniu jest jakiś haczyk?