Prosty dowód

[Anonynym]

Witam!

Mamy takie cuś:
\(\displaystyle{ (v_1,v_2,v_3,...,v_k) \in V}\)
oraz
\(\displaystyle{ v_{k+1} \in lin(v_1,v_2,v_3,...,v_k)}\)
Należy udowodnić, że \(\displaystyle{ (v_1,v_2,v_3,...,v_{k+1})}\) jest liniowo zależne.
Piszę tak:
Skoro \(\displaystyle{ v_{k+1} \in lin(v_1,v_2,v_3,...,v_k)}\) to \(\displaystyle{ v_{k+1}= \sum a_iv_i}\)
Więc:
\(\displaystyle{ \sum a_iv_i-v_{k+1}=0}\)
\(\displaystyle{ \sum a_iv_i+(-1v_{k+1})=0}\)
Gdzie \(\displaystyle{ (-1v_{k+1})}\) można potraktować jako kolejny składnik sumy, dla któego \(\displaystyle{ a_i=-1}\) i \(\displaystyle{ v_i=v_{k+1}}\), więc
\(\displaystyle{ \sum a_{i+1}v_{i+1}=0}\)
Więc \(\displaystyle{ (v_1,v_2,v_3,...,v_{k+1})}\). Tak czy nie tak? Ogólnie skoro da się skombinować wektor \(\displaystyle{ v_{k+1}}\) z wektorów v1,v2,v3...vk, to zbiór \(\displaystyle{ (v_1,v_2,v_3,...,v_{k+1})}\) się wyzeruje dla tego "skombionwanego" wektora i wektora \(\displaystyle{ v_{k+1}}\) przemnożonego przez skalar (-1). Prawda?:)

[szw1710]

Napisałeś

\(\displaystyle{ \sum a_iv_i+(-1v_{k+1})=0}\)

NIe wszystkie skalary w tej sumie są zerowe, co kończy dowód.

[fenix86]

Potwierdzam.
Przedstawiłeś wektor zerowy jako kombinację liniową wektorów \(\displaystyle{ v_i, i\in\{1,\ldots,n+1\}}\) o współczynnikach \(\displaystyle{ a_i, i\in\{1,\ldots,n+1\}}\) z czego nie wszystkie współczynniki są zerowe (bo \(\displaystyle{ a_{n+1}\neq 0}\)).

[Funktor]

Skoro mają byc liniowo zależne tz że musi istnieć kombinacja liniowa dla której to się zeruje, ale taka żeby nie wszystkie współczynniki były = 0 . wiec moim zdaniem ok : )