Matematyka.pl

Witam, mam małe zadanko z którym nie wiem co zrobić ... Chodzi o takie coś:

Rozwiąż układ równań:

\(\displaystyle{ \begin{cases} x-y+z=1 \\ 2x+3y-z=4 \end{cases}}\)

Oczywiście zaczynam od tego iż robię macierz 2x3 - tylko nie wiem co dalej...


Gdyby ktoś chociaż naprowadził mnie to byłoby super
Z góry pozdrawiam i dziękuję

Dopisz sobie trzecie równanie:
\(\displaystyle{ 0x+0y+0z=0}\)
i skorzystaj z metody Cramera

ares41 i później ma tak normalnie liczyć wzorami Cramera?

Macierz rozszerzona układu \(\displaystyle{ 2x4}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} x-y+z=1 \\ 2x+3y-z=4 \end{cases}}\)

Przerzucasz \(\displaystyle{ z}\) na drugą stronę.

\(\displaystyle{ \begin{cases} x-y=1-z \\ 2x+3y=4+z \end{cases}}\)

Pierwsze równanie mnożysz przez \(\displaystyle{ (-2)}\) i dodajesz do drugiego.

\(\displaystyle{ \begin{cases} x-y=1-z \\ 5y=2+3z \end{cases}}\)

Drugie równanie mnożysz przez \(\displaystyle{ \frac{1}{5}}\).

\(\displaystyle{ \begin{cases} x-y=1-z \\ y=\frac{2}{5}+\frac{3}{5}z \end{cases}}\)

Drugie równanie dodajesz do pierwszego.

\(\displaystyle{ \begin{cases} x=\frac{7}{5}-\frac{2}{5}z \\ y=\frac{2}{5}+\frac{3}{5}z \\z \in \mathbb{R}\end{cases}}\)

PS: To mój pierwszy post na forum.

miodzio1988 pisze:ares41 i później ma tak normalnie liczyć wzorami Cramera?

Mi to tak tłumaczono Czyli że niemożna?

ares41 pisze:Dopisz sobie trzecie równanie:
\(\displaystyle{ 0x+0y+0z=0}\)
i skorzystaj z metody Cramera

Czyli wyjdzie - układ sprzeczny?

No właśnie się zastanawiam. Bo wzorki nam mówią, żeby dzielić przez \(\displaystyle{ detA}\). Tylko wyznacznik wyjdzie zerowy jeśli wstawimy te trzy sztuczne zera

No tak, pozostałe wyznaczniki też, więc wydaje mi się, że będzie układ nieoznaczony.

No to akurat od razu widać fenix86, ładnie rozwalił to zadanko bez wzorów Cramera. I prawidłowo.

Nie można zastosować wzorów Cramera (jeśli dopiszemy sztuczne zera), gdyż macierz główna układu (wymiaru \(\displaystyle{ 3\times 3}\)) będzie osobliwa. Wzory Cramera można byłoby zastosować po przerzuceniu zmiennej \(\displaystyle{ z}\) na drugą stronę, traktując ją jako parametr.

fenix86 pisze:Nie można zastosować wzorów Cramera (jeśli dopiszemy sztuczne zera), gdyż macierz główna układu (wymiaru \(\displaystyle{ 3\times 3}\)) będzie osobliwa.

Tyle że nie chodziło mi o stosowanie wzorów Cramera tylko o zastosowanie metody Cramera, w której w pierwszej kolejności sprawdza się wyznacznik główny, potem pozostałe i na tej podstawie określa się charakter układu.
Nie powinno się utożsamiać metody Cramera ze wzorami Cramera, bo te wzorki to tylko część całej metody rozwiązywania układów równań liniowych.

powracając do tego zadania - nie da się tego zrobić inną metodą - tzn metoda Cramera ?

Można. Trzeba skorzystać z Twierdzenia Kroneckera-Capellego:

Widać tutaj że rząd macierzy jest 2. a więc:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x-y+z=1 \\ 2x+3y-z=4 \end{cases}}\)

Robimy z tego macierz:

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&-1\\2&3\end{bmatrix}}\)
i obliczamy wyznacznik. Wynosi on 5.

Teraz przenosimy parametry na prawą stronę:

\(\displaystyle{ \begin{cases} x-y=1-z \\ 2x+3y=4+z \end{cases}}\)

I obliczamy zwykłym Cramerem:

\(\displaystyle{ |A_x| = \begin{vmatrix} 1-z&-1\\4+z&3\end{vmatrix} = 7+z \\ x = \frac{7}{5}+\frac{1}{5}z}\)

I tak samo z Y:

\(\displaystyle{ |A_y| = \begin{vmatrix} 1&1-z\\2&4+z\end{vmatrix} = 2+3z \\ x = \frac{2}{5}+\frac{3}{5}z}\)

dzięki wielkie