Matematyka.pl

\(\displaystyle{ F}\) jest przekształceniem liniowym z \(\displaystyle{ V}\) na \(\displaystyle{ W}\) (przestrzenie wektorowe) i \(\displaystyle{ U}\) jest podprzestrzenią od \(\displaystyle{ V}\).

Jak pokazać, że \(\displaystyle{ F(U)}\) jest podprzestrzenią od \(\displaystyle{ W}\)?

-- 26 cze 2011, o 15:13 --

\(\displaystyle{ (i) f (a + b) = f (a) + f (b)}\) , dla \(\displaystyle{ a,b}\) nalezy do \(\displaystyle{ V}\)
\(\displaystyle{ (ii) f ( \alpha \cdot a) = \alpha \cdot f(a)}\) , dla \(\displaystyle{ a}\) nalezy do \(\displaystyle{ V}\), \(\displaystyle{ \alpha}\) do \(\displaystyle{ K}\)

To są wyznaczniki że jest przekształcenie liniowe, ale co dalej...-- 26 cze 2011, o 15:34 --\(\displaystyle{ f(U) \neq 0, bo f(0)}\) nalezy do \(\displaystyle{ f(U)}\)

Dla \(\displaystyle{ w _{1} , w _{2}}\) nalezy do \(\displaystyle{ f(U)}\), jest \(\displaystyle{ u1 , u2}\) z \(\displaystyle{ w1 = f(u1 )}\) i \(\displaystyle{ w2 = f(u2 )}\)

\(\displaystyle{ w _{1} + w _{2} = f(u _{1} ) + f(u _{2} ) = f(u _{1} +u _{2} )}\) nalezy do \(\displaystyle{ f(U)}\)

dla \(\displaystyle{ \alpha}\) nalezy do \(\displaystyle{ K}\) jest \(\displaystyle{ \alpha w _{1} = \alpha f(u _{1} ) = f (\alpha u _{1} )}\) nalezy do \(\displaystyle{ f(U)}\)

Brakuje coś jeszcze, cze jest ok?

Weźmy dowolne \(\displaystyle{ u \in U \subset V}\) czyli \(\displaystyle{ u \in V}\) i \(\displaystyle{ f(u) \subset W}\)
chyba koniec.

Źle. Po pierwsze mylisz byty. Po drugie mamy wykazać\(\displaystyle{ F(U) \subset W}\), zatem dowod zaczynamy od ustalenia dowolnego elementu z \(\displaystyle{ F(U)}\) i dążymy do tego by pokazać, że należy on także do \(\displaystyle{ W}\).

Nie tyle chyba źle co nie dokładnie. I co za różnica czy weźmiemy dowolny element z F(U) czy dowolny element z \(\displaystyle{ u \in U}\) i rozważymy \(\displaystyle{ F(u)}\)?

Nie tyle chyba źle co nie dokładnie.

Mylisz element zbioru ze zbiorem. A to jest karygodny błąd.

I co za różnica czy weźmiemy dowolny element z F(U) czy dowolny element z \(\displaystyle{ u \in U}\) i rozważymy \(\displaystyle{ F(u)}\)?

A skąd wiesz, że przekształcenie jest "na" i Twoje wybrane \(\displaystyle{ u}\) przejdzie na \(\displaystyle{ F(u)}\)? Poza tym, zbiór \(\displaystyle{ U}\) ma się nijak do zawierania \(\displaystyle{ F(U)}\) w \(\displaystyle{ W}\)...

Chyba się nie rozumiemy więc nie ciągnijmy tego dalej.