wektor w bazie

[mym]

witam!
mam oto takie zadanie:
Znaleźć bazę i wymiar przestrzeni liniowej
\(\displaystyle{ V = \{(2x - 3y,-x - y, x + y, x + y) : x, y \in R\}}\).
Sprawdzić czy \(\displaystyle{ v = (1, 0, 1, 1) \in V}\) .
jutro mam egzamin stąd,proszę o skorygowanie tego czy dobrze to rozwiązuję: najpierw wyznaczam 2 wektory tej bazy czyli \(\displaystyle{ v_1=(2,-1,1,1)}\) oraz \(\displaystyle{ v_2=(-3,-1,1,1)}\), układam układ równań i wychodzi mi że są liniowo niezależne stąd generują bazę której \(\displaystyle{ dim=2}\), ale teraz żeby sprawdzić czy ten wektor \(\displaystyle{ v}\) również znajduje się w bazie znowu muszę znowu badać liniową niezależność tym razem tej trójki wetorów? już się zagmatwałam trochę...

[matmi]

jak już masz bazę to wystarczy sprawdzić czy istnieją jakieś liczby rzeczywiste \(\displaystyle{ \alpha}\) i \(\displaystyle{ \beta}\) takie, że \(\displaystyle{ \alpha \cdot v_1+\beta \cdot v_2=v}\). Jak znajdziwsz to v należy jak nie (bo wyjdzie jakieś równanie sprzeczne) to nie należy.

[mym]

a takie zadanie:
Czy zbiór \(\displaystyle{ \{(1, 2,−5, 0)\}}\) generuje przestrzeń rozwiązań \(\displaystyle{ W_0}\) układu rówań
\(\displaystyle{ \begin{cases}x + 2y + z + 2u = 0 \\
2x - y + u = 0 \\
x + 7y + 3z + 4u = 0\end{cases}}\)
? Odpowiedź uzasadnić.

czy ten zbiór muszę rozpisać na wektory np. \(\displaystyle{ v_1=(1,0,0,0), v_2=(0,2,0,0)}\) itp a potem sprawdzać czy spełniają układ czy mogę od razu sprawdzić ten cały zbiór podstawiając jego wartości do układu?

[matmi]

Od razu możesz sprawdzić, wiedząc że przestrzeń rozwiązań jest jednowymiarowa.

Sprawdzasz wektor \(\displaystyle{ v= (\alpha,2 \alpha ,5 \alpha ,0)}\), gdzie \(\displaystyle{ \alpha \in R}\); kolejne współrzędne \(\displaystyle{ v}\) podstawiasz odpowiednio za \(\displaystyle{ x,y,z}\) i \(\displaystyle{ u}\).