Zmiana granicy całkowania a iloczyn skalarny funkcji

[jenter]

Wiadomo, że dla \(\displaystyle{ f,g\in\mathcal C([0;2\pi])}\) funkcja \(\displaystyle{ (f,g)= \int_{0}^{2\pi} f(x)g(x) \mbox{d}x}\) jest iloczynem skalarnym. Podobno jeśli zmienimy górną granicę całkowania na \(\displaystyle{ \pi}\), to przestaje być ona iloczynem skalarnym. Nie mam pojęcia, czemu miałoby się tak dziać... skoro na przedziale \(\displaystyle{ [0;\pi]}\) funkcje \(\displaystyle{ f}\) i \(\displaystyle{ g}\) też są ciągłe... Prosiłbym o jakąś podpowiedź.

[Lorek]

Warunek \(\displaystyle{ f=0\iff \langle f,f\rangle=0}\) nie będzie spełniony (przykład funkcji łatwo wymyślić).

[jenter]

No własnie za bardzo takiego przykładu wymyślić nie umiem, bo (jeśli zastąpię już tę górną granicę całkowania):
\(\displaystyle{ (f,f)= \int_{0}^{\pi} f^2(x) \mbox{d}x}\), a wiadomo, że \(\displaystyle{ f^2(x)\ge 0}\).
Dana całka z funkcji ciągłej na \(\displaystyle{ [0;2\pi]}\) (a w szczególności na \(\displaystyle{ [0;\pi]}\)) będzie równa zero, jeśli \(\displaystyle{ f(x)\equiv 0}\), bo jeśli na jakiś przedziałach byłaby większa od zera, to jakim cudem funkcja podcałkowa ma się wysumować do zera?

[Lorek]

Jeśli \(\displaystyle{ \int_{0}^{\pi} f^2(x) \mbox{d}x=0}\) to stąd wynika jedynie tyle, że \(\displaystyle{ f\equiv 0}\) na przedziale \(\displaystyle{ [0,\pi]}\) a poza tym przedziałem może być cokolwiek

[jenter]

Aaaaaa..... kurcze no...
Już wiem wszystko... Dziękuję.