Uzasadnić niezależność {sh x, sh 2x, sh 3x, ... }

[jenter]

Czy ktoś ma dla mnie jakąś podpowiedź, jak się zabrać do takiego zadania?

Uzasadnić niezależność liniową poniższego nieskończonego układu wektorów:
\(\displaystyle{ A = \left\{ \sinh x, \sinh 2x, \sinh 3x, \dots \right\}\hbox{ nad }\mathcal C(\mathbb R)}\)

Kombinuję i nic prowadzącego do rozwiązania nie znajduję.
Z góry dziękuję.

-- 20 czerwca 2011, 20:09 --

Ok. Mam... samemu mi się udało. :]

-- 20 czerwca 2011, 20:31 --

Nieskończony układ wektorów jest l.niezależny, jeżeli każdy jego skończony podukład jest liniowo niezależny.

Liniową kombinacją dowolnych wektorów z tego zbioru będzie:
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{k} a_i \sinh n_i x}\), gdzie \(\displaystyle{ a_i}\) to kolejne współczynniki, a \(\displaystyle{ n_i}\) to wartości wielokrotności \(\displaystyle{ x}\) w argumentach funkcji ze zbioru \(\displaystyle{ A}\). Ponadto \(\displaystyle{ n_i}\) są parami różne.

\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{k} a_i \sinh n_i x = 0 \Rightarrow 0 = \sum_{i=1}^{k} a_i \left( e^{n_i x} - e^{-n_i x} \right) = \sum_{i=1}^{k} a_i \left( (e^x)^{n_i} - (e^x)^{-n_i} \right)}\).
Podstawmy teraz \(\displaystyle{ e^x = t,\quad t\in(0;+\infty)}\)
Mamy dalej:
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{k} a_i \left( t^{n_i} - t^{-n_i} \right) = 0}\)
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{k} a_i \left( t^{n_i} - (t^{-1})^{-n_i} \right) = 0\quad / \cdot t>0}\)
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{k} a_i \left( t^{n_i+1} - 1 \right) = \sum_{i=1}^{k} \left(a_i t^{n_i+1} - a_i\right) = 0}\)
Otrzymany wielomian jest równy tożsamościowo zero \(\displaystyle{ \iff}\) jego współczynniki są równe zero.
Czyli \(\displaystyle{ a_1=a_2=\dots =a_k = 0. \quad q.e.d.}\)

Teraz pytanie, czy jest to poprawne...

[Spektralny]

Tak, nie widzę tu luki. Można też zastosować inne sposoby:

1) policzyć wrońskian dla dowolnego skończonego układu wektorów i zauwazyć, że jest niezerowy
2) zauważyć (co w zasadzie zrobiłeś mniej-więcej), że wszystkie te funkcje są przestępne.

[jenter]

Dziekuję.

[Wasilewski]

Można też zrobić tak: załóżmy, że pierwsze n funkcji jest liniowo zależnych (dla pewnego n) i takie n jest minimalne:
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} a_{i} \sinh(ix) = 0, \quad (*)}\).
Można tę równość dwukrotnie zróżniczkować:
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} i^{2}a_{i} sinh(ix) = 0}\).
Teraz mnożymy równość \(\displaystyle{ (*)}\) przez \(\displaystyle{ n^2}\), odejmujemy drugą i otrzymujemy zależność liniową pierwszych n-1 funkcji.
I jeszcze taka uwaga: nie badamy niezależności tych funkcji nad \(\displaystyle{ \mathcal{C}(\mathbb{R})}\) tylko nad \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\).

[jenter]

Dziękuję raz jeszcze.
Podoba mi się ten dowód.