Jeśli \(\displaystyle{ (v_1,...v_n)}\) i \(\displaystyle{ (w_1,...,w_m)}\) są bazami przestrzeni wektorowej \(\displaystyle{ V}\), to \(\displaystyle{ m=n}\)
Jak można to pokazać najprościej? Próbowałem nie wprost ale nie doszedłem do ciekawych wyników :/
Baza p.liniowej jest to maksymalny układ liniowo niezależnych wektorów w tej przestrzeni. Skoro oba zbiory w Twoim zadaniu są bazami, to są maksymalnymi układami l.n.w, a więc mają taką samą moc, czyli \(\displaystyle{ n=m}\).
Ja to wiem, ale mój prowadzący woli bardzo formalny dowód, ba, na ustnym przyczepił się nawet do dowodu, który sam podał, więc trochę już zgłupiałem...
Załóżmy, że \(\displaystyle{ V=\{v_1,...v_n\}}\) i \(\displaystyle{ W = \{w_1,...,w_m\}}\) są bazami danej przestrzeni wektorowej \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ n \neq m}\).
Wtedy \(\displaystyle{ V}\) jest maksymalnym układem wektorów liniowo niezależnych w \(\displaystyle{ A}\) i niech \(\displaystyle{ n=|V|}\) oraz \(\displaystyle{ W}\) jest maksymalnym układem wektorów liniowo niezależnych w \(\displaystyle{ A}\) i niech \(\displaystyle{ m=|W|}\). Z racji, iż, w kontekście liczb naturalnych, elementy maksymalne są sobie równe, to \(\displaystyle{ n=m}\), co przeczy założeniu o ich różności. \(\displaystyle{ q.e.d.}\)
