Baza - sprawdzanie z definicji

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
four5
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 12 cze 2011, o 11:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Jelenia Góra
Podziękował: 1 raz

Baza - sprawdzanie z definicji

Post autor: four5 »

Witam chciałbym z definicji sprawdzić czy \(\displaystyle{ \ B=\{x^{2}+1, x^{2}+2x+2,x+1 \}, R^{3}}\) jest bazą. Ale mam sprawdzić to z definicji. Więc sprawdziłem ich liniową niezależność teraz próbuje zrozumieć i jakoś sprawdzić drugi warunek który wygląda tak : \(\displaystyle{ \ \alpha_{1}\vec{b}_{1}+\alpha_{2}\vec{b}_2+\alpha_{3}\vec{b}_{3}=\vec{v}}\). I teraz prosiłbym kogoś z państwa by mi ten drugi warunek spokojnie wytłumaczył i na moim przykładzie pokazał o co chodzi. Dziękuję z góry.
Awatar użytkownika
Spektralny
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3976
Rejestracja: 17 cze 2011, o 21:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Praga, Katowice, Kraków
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 929 razy

Baza - sprawdzanie z definicji

Post autor: Spektralny »

Masz trzy wektory w przestrzeni trójwymiarowej, więc jeżeli będą liniowo niezależne to utworzą one bazę.

Bierzesz kombinację liniową tych elementów o tajemniczych współczynnikach, powiedzmy \(\displaystyle{ a,b,c}\), i przyrównujesz to do wektora zerowego. Starasz się wyznaczyć te współczynniki. Jeżeli \(\displaystyle{ a=b=c=0}\) jest jedynym rozwiązaniem Twojego problemu, to istotnie, jest to baza. Jeżeli są inne rozwiązania to wektory te są liniowo zależne, a więc w szczególności, nie tworzą bazy.
four5
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 12 cze 2011, o 11:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Jelenia Góra
Podziękował: 1 raz

Baza - sprawdzanie z definicji

Post autor: four5 »

Z tego co sprawdzałem w skrypcie liniowa niezależność nie jest jedynym warunkiem tego, by tworzyły bazę. Ich liniową niezależność sprawdziłem juz wcześniej sposobem który podałeś i metodą wyznacznika. Mi rozchodzi się o ten drugi warunek co napisałem w pości wcześniej a jest on kopią ze skrypty. Jak działa ten drugi warunek i jak on się odnosi do mojego przykładu.
Awatar użytkownika
Spektralny
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3976
Rejestracja: 17 cze 2011, o 21:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Praga, Katowice, Kraków
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 929 razy

Baza - sprawdzanie z definicji

Post autor: Spektralny »

W przestrzeni n-wymiarowej, n wektorów liniowo niezależnych tworzy bazę. W czym rzecz?
four5
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 12 cze 2011, o 11:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Jelenia Góra
Podziękował: 1 raz

Baza - sprawdzanie z definicji

Post autor: four5 »

"Zbiór wektorów B ⊆ V jest bazą, gdy spełnione są następujące warunki:
- wektory w B są liniowo niezależne.
- zbiór B generuje całą przestrzeń V, tzn. dowolny wektor y z przestrzeni V można przedstawić za pomocą kombinacji liniowej wektorów ze zbioru B.
Innymi słowy: baza przestrzeni liniowej jest liniowo niezależna i cała przestrzeń jest jej powłoką liniową."

Prosto z wikipedii i to sam jest w moim skrypcie. I teraz tak, pierwszy warunek jest sprawdzony. Bo jak juz powiedzieliśmy wcześniej są liniowo niezależne. Ale jak mam rozumieć drugi warunek? Cały czas mi się rozchodzi o ten drugi warunek którego kompletnie nie rozumiem ;p
Tomek_Z
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 807
Rejestracja: 9 gru 2007, o 14:39
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 181 razy

Baza - sprawdzanie z definicji

Post autor: Tomek_Z »

Zapewne autorzy skryptu sprawdzają, czy baza generuje podprzestrzeń, ale jak już zauważył Spektralny, jest to zbędne...
Awatar użytkownika
Spektralny
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3976
Rejestracja: 17 cze 2011, o 21:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Praga, Katowice, Kraków
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 929 razy

Baza - sprawdzanie z definicji

Post autor: Spektralny »

Fajnie, sam to wklepałem w wikipedię : ) Może tak, zbiór n wektorów liniowo niezależnych w przestrzeni n-wymiarowej musi już ją całą generować, bo gdyby nie to potrzeba by było co najmniej jeszcze jednego do tego celu. Nie jest trudno zauważyć, że baza przestrzeni n wymiarowej składa się dokładnie z n wektorów.
four5
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 12 cze 2011, o 11:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Jelenia Góra
Podziękował: 1 raz

Baza - sprawdzanie z definicji

Post autor: four5 »

Jak to ok. Tylko nie wiem po co oni tą sprawę tak komplikują. Czyli z tego co zrozumiałem to wystarczy udowodnić, że są liniowo niezależne i basta? Dzięki chłopaki
Awatar użytkownika
Spektralny
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3976
Rejestracja: 17 cze 2011, o 21:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Praga, Katowice, Kraków
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 929 razy

Baza - sprawdzanie z definicji

Post autor: Spektralny »

Ponieważ w przestrzeniach nieskończenie wymiarowych należy skorzystać zawsze z warunku podanego w definicji głównej.-- 18 cze 2011, o 22:25 --Teraz doczytałem, że masz sprawdzić z definicji: weź dowolny wielomian stopnia \(\displaystyle{ ax^2+bx+c}\) i przedstaw go jako kombinację liniową wyjściowych wektorów.
ODPOWIEDZ