Diagonalizacja macierzy

[PAV38]

Witam!
W poleceniu mam:
Wyznaczyć wartości, wektory własne, macierz diagonalizującą macierz A:

\(\displaystyle{ A=\left|\begin{array}{ccc}1&0&1\\0&5&3\\-2&0&4\end{array}\right|}\)

Obliczyłem wartości własne z :
\(\displaystyle{ Det(A-xI)=0}\)
\(\displaystyle{ x _{1} =5}\)
\(\displaystyle{ x _{2}=3}\)
\(\displaystyle{ x _{3}=2}\)
A mając to, wektory własne:
\(\displaystyle{ x _{1}=5 \Rightarrow V_{1}=(0,1,0)}\)
\(\displaystyle{ x _{2}=3=3 \Rightarrow V_{2}=(\frac{1}{2} ,\frac{-3}{2},1)}\)
\(\displaystyle{ x _{3}=3=2 \Rightarrow V_{3}=(\frac{1}{2} ,0,0)}\)
I tu napotykam się na problem. Czy, aby utworzyć macierz diagonalizującą, należy zortogonalizować te trzy wektory i dopiero wtedy stworzyć macierz:
\(\displaystyle{ V_{1} \Rightarrow U_{1}}\)
\(\displaystyle{ V_{2} \Rightarrow U_{2}}\)
\(\displaystyle{ V_{3} \Rightarrow U_{3}}\)
\(\displaystyle{ U1,U2,U3}\) wzajemnie prostopadłe.
\(\displaystyle{ P=\left|\begin{array}{ccc} U_{11} &U_{21}&U_{31}\\U_{12}&U_{22}&U_{32}\\U_{13}&U_{23}&U_{33}\end{array}\right|}\)

I czy zajdzie ten warunek?
\(\displaystyle{ D= P^{-1}AP}\)

[alfgordon]

\(\displaystyle{ D}\)to macierz diagonalna złożona z wektorów własnych
\(\displaystyle{ P}\) to macierz,gdzie jej kolumny to wektory własne

[PAV38]

To wiem

Ale tu wektory nie są prostopadłe i czy należy je ortogonalizować metodą Grama Schmidta, przed stworzeniem sobie macierzy \(\displaystyle{ P}\)?

Bo taka chyba nie jest dobra:
\(\displaystyle{ P=\left|\begin{array}{ccc}1& \frac{1}{2} &1\\1&\frac{-3}{2}&-1\\0&1&1\end{array}\right|}\)

[alfgordon]

nie, wystarczy tyle co masz (oczywiście jeżeli dobrze masz rozwiązane zadanie)

[Tomek_Z]

Ale gdyby udało się znaleźć ortogonalną macierz przejścia to wtedy \(\displaystyle{ P^{-1} = P^T}\). Można więc zastosować metodę Gramma-Schmidta tak, aby ta macierz była ortogonalna?

[PAV38]

Wektory własne i i wartości własne sa dobre, bo tyle było w odpowiedzi.
Czyli nie ma znaczenia, czy wektory są do siebie prostopadłe?
Macierz diagonalizująca, to zawsze po prostu wektory własne?
Czasem zapisuje się taki warunek:
\(\displaystyle{ D= P^{t}AP}\)
Kiedy P jest ortogonalna. Czyli, gdyby przy innej macierzy początkowej, wektory własne, były prostopadłe i by się je unormowało, to można zapisywać ten warunek na końcu, zamiast odwracania?