Forma dwuliniowa - całki

[Stonek]

Witam,
Mam problem z pewnych zadaniem. Mianowicie:

Na przestrzeni \(\displaystyle{ V=R[x] _{2}}\), definiujemy formę dwuliniową \(\displaystyle{ <-,->: V ^{2} \rightarrow R}\) zadaną wzorem \(\displaystyle{ <f,g> \int_{0}^{1} f(t)g(t) dt}\)

Moje pytanie brzmi, jak wygląda macierz formy \(\displaystyle{ <-,->}\) w bazie \(\displaystyle{ (1,x,x ^{2})}\) ?

Byłbym bardzo wdzięczny jakby ktoś wyjaśnił i podał tą macierz, gdyż to uniemożliwia mi wykonanie następnych podpunktów zadania, które wiem jak zrobić.

[Spektralny]

Baza którą wskazłeś pełni rolę bazy kanonicznej (notabene jest to przestrzeń euklidesowa, ale to się okaże, gdy zobaczymy macierz i zastosujemy do niej kryterium Sylwestera).

Macierz formy \(\displaystyle{ \langle \cdot , \cdot \rangle}\) w bazie \(\displaystyle{ e_1, \ldots, e_n}\) jest postaci

\(\displaystyle{ A=\begin{bmatrix}a_{1 1} & \cdots & a_{1 n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n 1} & \cdots & a_{n n} \end{bmatrix}}\)

przy czym \(\displaystyle{ a_{ij}=\langle e_i, e_j\rangle}\). W naszym przypadku \(\displaystyle{ n=3}\) i \(\displaystyle{ e_1=1, e_2=x, e_3=x^2}\). Zauważ, że forma ta jest symetryczna, tj. \(\displaystyle{ a_{ij}=a_{ji}}\) bo

\(\displaystyle{ \int_0^1 fg = \int_0^1 gf,}\)

tzn. macierz \(\displaystyle{ A}\) jest symetryczna (o połowę mniej liczenia, wystarczy policzyć wszystko nad główną przekątną, oczywiście wraz z nią, i odbić symetrycznie).

Dla przykładu,

\(\displaystyle{ a_{23}=\int_0^1 x\cdot x^2 dx = \frac{1}{4}.}\)

[Stonek]

Czyli o ile się nie mylę to tak macierz wygląda następująco
\(\displaystyle{ A = \left[\begin{array}{ccc} 1 & \frac{1}{2}& \frac{1}{3}\\ \frac{1}{2}& \frac{1}{3}& \frac{1}{4}\\ \frac{1}{3}& \frac{1}{4}& \frac{1}{5}\end{array}\right]}\)

[Spektralny]

Tak : )