Twierdzenie o izomorfiźmie odwrotnym

[bllaga]

Bardzo proszę o wytłumaczenie jak udowodnić twierdzenie: przekształceniem odwrotnym do izomorfizmu jest izomorfizm.

[Spektralny]

O izomorfizm jakich struktur chodzi? Najlepiej z definicji - jako izomorfizm dane przekształcenie jest bijekcją czyli jako funkcja ma funkcję odwrotną. Teraz pokaż, że możesz "wrócić" z operacjami zachowanymi przez dany izomorfizm stosując tę funkcję odwrotną.

[bllaga]

Nie wiem czy dobrze:
Z: \(\displaystyle{ f}\): \(\displaystyle{ V \rightarrow W}\) - izomorfizm
T: \(\displaystyle{ f^-1}\):\(\displaystyle{ W \rightarrow V}\) - izomorfizm
Dowód:
Niech \(\displaystyle{ x,y \in V}\) i \(\displaystyle{ f^-1(x)=f^-1(y)}\)
\(\displaystyle{ f}\)(\(\displaystyle{ f^-1(x))}\)=\(\displaystyle{ f}\)(\(\displaystyle{ f^-1(y))}\) \(\displaystyle{ \Rightarrow x=y}\)
Czyli jest injekcją.
Teraz sprawdzam czy jest surjekcją:
\(\displaystyle{ \bigwedge x \in X}\) \(\displaystyle{ \bigvee y \in Y}\) \(\displaystyle{ f^-1(y)=x}\)
Ustalam \(\displaystyle{ x \in X}\)
\(\displaystyle{ y}\)=\(\displaystyle{ f(x)}\)
\(\displaystyle{ f^-1(y)}\)=\(\displaystyle{ f^-1(f(x))=x}\) czyli jest surjekcją

-- 17 cze 2011, o 22:56 --

Zapomniałam dopisać, że skoro jest surjekcją i injekcją to jest bijekcją.-- 17 cze 2011, o 22:58 --Chodzi o izomorfizm w przestrzeni wektorowej i właśnie nie wiem czy taki sposób jest dobry

[Spektralny]

Nie, izomorfizm jest bijekcją z definicji, a więc z definicji ma funkcję odwrotną (nie musisz tego sprawdzać, bo to wiesz). Musisz sprawdzić, że zachowuje dodawanie i mnożenie przez skalar jako przekształcenie liniowe \(\displaystyle{ f^{-1}\colon W\to V}\).

[bllaga]

\(\displaystyle{ x,y \in W}\)
\(\displaystyle{ \alpha , \beta \in K}\)
\(\displaystyle{ f ^{-1}(x)= x_{1}}\)
\(\displaystyle{ f ^{-1}(y)=y _{1}}\)
\(\displaystyle{ f ^{-1}( \alpha x+ \beta y)=a}\)
\(\displaystyle{ f(f ^{-1}( \alpha x+ \beta y))=f(a)}\)
\(\displaystyle{ \alpha x+ \beta y=f(a)}\)
\(\displaystyle{ f(a)= \alpha f(x _{1})= \beta f(y _{1})=f( \alpha x _{1}+ \beta y _{2})}\)
\(\displaystyle{ a= \alpha x _{1}+ \beta y _{1}}\)
\(\displaystyle{ f ^{-1} ( \alpha x _{1}+ \beta y _{1}) = \alpha f ^{-1}(x)+ \beta f ^{-1}(y)}\)-- 17 cze 2011, o 23:20 --Coś takiego?

[Lbubsazob]

Ja miałam coś takiego na algebrze:

Wykaż, że odwzorowanie odwrotne do izomorfizmu jest izomorfizmem
Niech \(\displaystyle{ \varphi:V\rightarrow W}\) odwzorowanie liniowe, czyli istnieje \(\displaystyle{ \psi:W\rightarrow V}\).
\(\displaystyle{ \varphi \circ \psi =\mbox{id} W \\
\psi \circ \varphi =\mbox{id} V}\)
Sprawdzamy, czy \(\displaystyle{ \varphi \left( \alpha x+\beta y\right)=\alpha \varphi(x)+\beta \varphi(y)}\):
\(\displaystyle{ \varphi \left( \psi\left( \alpha x+\beta y\right) \right)\stackrel{?}=\varphi \left( \alpha\psi (x)+\beta \psi (y)\right) \\
L=\alpha x+\beta y \\
P=\alpha \varphi \left( \psi(x)\right) +\beta\varphi\left( \psi(y)\right)=\alpha x+\beta y=L}\)