przyklad macierzy kwadratowej

[BlueSky]

Podać przykład macierzy kwadratowej \(\displaystyle{ A}\) wymiaru \(\displaystyle{ 3 \times 3}\) o następujących własnościach:
- jedynymi wartościami własnymi macierzy \(\displaystyle{ A}\) są liczby \(\displaystyle{ 0}\) oraz \(\displaystyle{ 1}\),
- wartości własne \(\displaystyle{ 0}\) i \(\displaystyle{ 1}\) są jednokrotne.

[Juankm]

Czy to nie jest niemożliwe? Krotności wszystkich wartości własnych macierzy kwadratowej muszą się chyba sumować do rozmiaru macierzy...
Można to udowodnić indukcyjnie na podstawie stopnia wielomianu charakterystycznego, korzystając z rozwinięcia Laplace'a.
A tak w konkretnym przypadku to licząc wielomian charakterystyczny z rozwinęcia Laplace'a najpierw jadąc po minorach głównych otrzymasz wielomian o stopniu równym rozmiarowi macierzy, a potem wielomiany co najwyżej stopnia o jeden mniejszego, więc nic nie zakłoci tego niezerowego czynnika przy potędze równej rozmiarowi macierz.

[BlueSky]

Do tego zadania jest jeszcze taka notka (może to pomoże;)):

Przypomnienie: Liczba \(\displaystyle{ \lambda}\) jest jednokrotną wartością własną macierzy A wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór wektorów własnych macierzy A dla wartości własnej \(\displaystyle{ \lambda}\) jest jednowymiarową podprzestrzenią liniową przestrzeni \(\displaystyle{ R^3}\) (czyli prostą zawierającą wektor zerowy).

Równoważnie: Liczba \(\displaystyle{ \lambda}\) jest jednokrotną wartością własną macierzy A wtedy i tylko wtedy, gdy jest jej wartością własną, a dowolne dwa wektory własne macierzy A dla wartości własnej \(\displaystyle{ \lambda}\) są liniowo zależne.

[Juankm]

Podtrzymuję: moim zdaniem nie ma takiej macierzy. Wielomian charakterystyczny trzeciego stopnia o dwóch pierwiastkach rzeczywistych ma trzeci pierwiastek również rzeczywisty. Ich krotności sumują się do liczby: trzy.

[BlueSky]

Podbijam zadanie, bo jednak nie ma w nim błędu i taka macierz na pewno istnieje, więc może kogoś olśni i pomoże? ;>

[fon_nojman]

Ta macierz z jakiego ciała ma elementy?

[BlueSky]

W treści zadania nie jest podane.

[Wasilewski]

Wystarczy coś takiego napisać:
\(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right]}\).

[BlueSky]

Wystarczy coś takiego napisać:
\(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right]}\).

Chyba nie za bardzo, bo tutaj wychodzi nam, że 1 jest dwukrotną wartością własną, a ma być jednokrotną, tak samo jak 0...

[Piotr Pstragowski]

Wystarczy coś takiego napisać:
\(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right]}\).

Chyba nie za bardzo, bo tutaj wychodzi nam, że 1 jest dwukrotną wartością własną, a ma być jednokrotną, tak samo jak 0...

To jest dobry przyklad, sprawdz na palcach.

Podtrzymuję: moim zdaniem nie ma takiej macierzy. Wielomian charakterystyczny trzeciego stopnia o dwóch pierwiastkach rzeczywistych ma trzeci pierwiastek również rzeczywisty. Ich krotności sumują się do liczby: trzy.

Mylisz krotnosc algebraiczna (krotnosc pierwiastka wielomianu charakterystycznego, z krotnoscia geometryczna, ktorej definicje podala Bluesky. Nie musza byc rowne.

[BlueSky]

A w ten sposób....ok, dzięki za pomoc.