przyklad macierzy kwadratowej
przyklad macierzy kwadratowej
Podać przykład macierzy kwadratowej \(\displaystyle{ A}\) wymiaru \(\displaystyle{ 3 \times 3}\) o następujących własnościach:
- jedynymi wartościami własnymi macierzy \(\displaystyle{ A}\) są liczby \(\displaystyle{ 0}\) oraz \(\displaystyle{ 1}\),
- wartości własne \(\displaystyle{ 0}\) i \(\displaystyle{ 1}\) są jednokrotne.
- jedynymi wartościami własnymi macierzy \(\displaystyle{ A}\) są liczby \(\displaystyle{ 0}\) oraz \(\displaystyle{ 1}\),
- wartości własne \(\displaystyle{ 0}\) i \(\displaystyle{ 1}\) są jednokrotne.
-
- Użytkownik
- Posty: 147
- Rejestracja: 14 cze 2011, o 16:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Pomógł: 28 razy
przyklad macierzy kwadratowej
Czy to nie jest niemożliwe? Krotności wszystkich wartości własnych macierzy kwadratowej muszą się chyba sumować do rozmiaru macierzy...
Można to udowodnić indukcyjnie na podstawie stopnia wielomianu charakterystycznego, korzystając z rozwinięcia Laplace'a.
A tak w konkretnym przypadku to licząc wielomian charakterystyczny z rozwinęcia Laplace'a najpierw jadąc po minorach głównych otrzymasz wielomian o stopniu równym rozmiarowi macierzy, a potem wielomiany co najwyżej stopnia o jeden mniejszego, więc nic nie zakłoci tego niezerowego czynnika przy potędze równej rozmiarowi macierz.
Można to udowodnić indukcyjnie na podstawie stopnia wielomianu charakterystycznego, korzystając z rozwinięcia Laplace'a.
A tak w konkretnym przypadku to licząc wielomian charakterystyczny z rozwinęcia Laplace'a najpierw jadąc po minorach głównych otrzymasz wielomian o stopniu równym rozmiarowi macierzy, a potem wielomiany co najwyżej stopnia o jeden mniejszego, więc nic nie zakłoci tego niezerowego czynnika przy potędze równej rozmiarowi macierz.
przyklad macierzy kwadratowej
Do tego zadania jest jeszcze taka notka (może to pomoże;)):
Przypomnienie: Liczba \(\displaystyle{ \lambda}\) jest jednokrotną wartością własną macierzy A wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór wektorów własnych macierzy A dla wartości własnej \(\displaystyle{ \lambda}\) jest jednowymiarową podprzestrzenią liniową przestrzeni \(\displaystyle{ R^3}\) (czyli prostą zawierającą wektor zerowy).
Równoważnie: Liczba \(\displaystyle{ \lambda}\) jest jednokrotną wartością własną macierzy A wtedy i tylko wtedy, gdy jest jej wartością własną, a dowolne dwa wektory własne macierzy A dla wartości własnej \(\displaystyle{ \lambda}\) są liniowo zależne.
Przypomnienie: Liczba \(\displaystyle{ \lambda}\) jest jednokrotną wartością własną macierzy A wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór wektorów własnych macierzy A dla wartości własnej \(\displaystyle{ \lambda}\) jest jednowymiarową podprzestrzenią liniową przestrzeni \(\displaystyle{ R^3}\) (czyli prostą zawierającą wektor zerowy).
Równoważnie: Liczba \(\displaystyle{ \lambda}\) jest jednokrotną wartością własną macierzy A wtedy i tylko wtedy, gdy jest jej wartością własną, a dowolne dwa wektory własne macierzy A dla wartości własnej \(\displaystyle{ \lambda}\) są liniowo zależne.
-
- Użytkownik
- Posty: 147
- Rejestracja: 14 cze 2011, o 16:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Pomógł: 28 razy
przyklad macierzy kwadratowej
Podtrzymuję: moim zdaniem nie ma takiej macierzy. Wielomian charakterystyczny trzeciego stopnia o dwóch pierwiastkach rzeczywistych ma trzeci pierwiastek również rzeczywisty. Ich krotności sumują się do liczby: trzy.
przyklad macierzy kwadratowej
Podbijam zadanie, bo jednak nie ma w nim błędu i taka macierz na pewno istnieje, więc może kogoś olśni i pomoże? ;>
- fon_nojman
- Użytkownik
- Posty: 1599
- Rejestracja: 13 cze 2009, o 22:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 68 razy
- Pomógł: 255 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 3921
- Rejestracja: 10 gru 2007, o 20:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 36 razy
- Pomógł: 1194 razy
przyklad macierzy kwadratowej
Wystarczy coś takiego napisać:
\(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right]}\).
\(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right]}\).
przyklad macierzy kwadratowej
Chyba nie za bardzo, bo tutaj wychodzi nam, że 1 jest dwukrotną wartością własną, a ma być jednokrotną, tak samo jak 0...Wasilewski pisze:Wystarczy coś takiego napisać:
\(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right]}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 102
- Rejestracja: 8 sie 2011, o 20:59
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 14 razy
przyklad macierzy kwadratowej
To jest dobry przyklad, sprawdz na palcach.BlueSky pisze:Chyba nie za bardzo, bo tutaj wychodzi nam, że 1 jest dwukrotną wartością własną, a ma być jednokrotną, tak samo jak 0...Wasilewski pisze:Wystarczy coś takiego napisać:
\(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right]}\).
Mylisz krotnosc algebraiczna (krotnosc pierwiastka wielomianu charakterystycznego, z krotnoscia geometryczna, ktorej definicje podala Bluesky. Nie musza byc rowne.Podtrzymuję: moim zdaniem nie ma takiej macierzy. Wielomian charakterystyczny trzeciego stopnia o dwóch pierwiastkach rzeczywistych ma trzeci pierwiastek również rzeczywisty. Ich krotności sumują się do liczby: trzy.