Wyznaczenie macierzy

[SanczoPanczo]

Witam,
Mam do rozwiązania zadanko z elektrotechniki i mam problem z jedną częścią zadania, gdzie muszę wyznaczyć szukaną macierz, bo pola macierzy określają wartości napięcia, a więc wygląda to tak...

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1 & -0,5 \\ -0,5 & 0,5+j0,5 \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} V1 \\ V2 \\ V3 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -7,5+j7,5 \\ -10-j5 \\ \end{bmatrix}}\)

Czyli do wyliczenia mam macierz, gdzie szukane są V1, V2 oraz V3, czyli te moje zmienne napięć

Ja robiłem to tak:

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1 & -0,5 \\ -0,5 & 0,5+j0,5 \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} V1 \\ V2 \\ V3 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ -0,5 \end{bmatrix} \cdot V1 + \begin{bmatrix} 0,5 \\ 0,5+j0,5 \end{bmatrix} \cdot V2 = \begin{bmatrix} V1 \\ -0,5V1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0,5V2 \\ (0,5+j0,5)V2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} V1 + 0,5V2 \\ -0,5V1 + 0,5V2 + j0,5V2 \end{bmatrix}}\)

Następnie liczyłem układ równań z dwiema niewiadomymi tj.

\(\displaystyle{ V1 + 0,5V2 = -7,5+j7,5}\)

\(\displaystyle{ -0,5V1 + 0,5V2 + j0,5V2 = -10-j5}\)

Dodam, że wyniki powinny wyjść następujące:
\(\displaystyle{ V1 = -14+j18}\)
\(\displaystyle{ V2=-13+j21}\)

Ale mimo wszystko wynik nie wychodzi mi poprawny.... gdzie jest błąd ?
Moim zdaniem błąd gdzieś popełniłem w tym co napisałem powyżej, bo potem to już tylko zwykłe podstawienie jest.

Pozdrawiam i dziękuje za pomoc

[Qń]

Po pierwsze - zmienne są dwie, a nie trzy (jak piszesz na początku). Ale błąd jest nie w tym, bo potem to korygujesz, tylko w tym, że w górnym prawym rogu macierzy masz \(\displaystyle{ -\frac 12}\), a potem piszesz \(\displaystyle{ \frac 12}\).

Q.

[SanczoPanczo]

Po pierwsze - zmienne są dwie, a nie trzy (jak piszesz na początku). Ale błąd jest nie w tym, bo potem to korygujesz, tylko w tym, że w górnym prawym rogu macierzy masz \(\displaystyle{ -\frac 12}\), a potem piszesz \(\displaystyle{ \frac 12}\).

Q.

Faktycznie, siedziałem do rana ucząc się i popełniałem gafy takie ;-/ Zrobiłem to "poprawnie", ale wynik nadal inny mi wychodzi niż poprawny. Liczyłem to trzy razy i nie wychodzi mi poprawny wynik, to są moje obliczenia:

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1 & -0,5 \\ -0,5 & 0,5+j0,5 \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} V1 \\ V2 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ -0,5 \\ \end{bmatrix} \cdot V_{1} + \begin{bmatrix} -0,5 \\ 0,5+j0,5 \end{bmatrix} \cdot V_{2} = \begin{bmatrix} V_1 \\ -0,5V_2\end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -0,5V_2 \\ 0,5V_2+j0,5V_2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} V_1-0,5V_2 \\ -0,5V_1+0,5V_2+j0,5V_2 \end{bmatrix}}\)

Szukana macierz ze zmiennymi \(\displaystyle{ V_1}\) oraz \(\displaystyle{ V_2}\) wygląda następująco:

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1 & -0,5 \\ -0,5 & 0,5+j0,5 \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} V1 \\ V2 \\ V3 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -7,5+j7,5 \\ -10-j5 \\ \end{bmatrix}}\)

A więc:

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} V_1-0,5V_2 \\ -0,5V_1+0,5V_2+j0,5V_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -7,5+j7,5 \\ -10-j5 \\ \end{bmatrix}}\)

Tworzę z tego układ równań:

\(\displaystyle{ V_1-0,5V_2=-7,5+j7,5}\)
\(\displaystyle{ -0,5V_1+0,5V_2+j0,5V_2 = -10-j5}\)

I wyliczam poprzez podstawienia i uporządkowanie wyrazów:

\(\displaystyle{ V_1 = -7,5+j7,5+0,5V_2}\)

\(\displaystyle{ -0,5\left( -7,5+j7,5+0,5V_2 \right) +0,5V_2+j0,5V_2 = -10-j5}\)

\(\displaystyle{ 3,75-j3,75-0,25V_2+0,5V_2+j0,5V_2=-10-j5}\)

\(\displaystyle{ 0,25V_2 + j0,5V_2=-10-j5-3,75+j3,75}\)

\(\displaystyle{ V_2\left( 0,25+j0,5 \right) = -6,25 - j1,25 / : \left( 0,25 +j0,5\right)}\)

\(\displaystyle{ V_2 = \frac{-6,25-j1,25}{0,25+j0,5} \cdot \frac{0,25-j0,5}{0,25-j0,5} = \frac{-1,5625+j3,125-j0,3125+0,625}{0,0625+0,25} = -3}\)

I wynik dla \(\displaystyle{ V_2}\) jest nie poprawny, bo przypomnę, że poprawne wyniki to na 100 procent:

\(\displaystyle{ V1 = -14+j18}\)
\(\displaystyle{ V2=-13+j21}\)

a więc podstawienie dla \(\displaystyle{ V_1}\) z moim \(\displaystyle{ V_2=-3}\) nie ma sensu, bo nie jest to poprawny wynik.


Gdzie zrobiłem błąd ?

Dziękuje za pomoc.

[Qń]

Po pierwsze - wygodniej rozwiązać układ metodą Cramera.
Po drugie - jeśli chcesz znaleźć błąd w swoich rachunkach, to sprawdzaj po kolei czy po podstawieniu w każdej linijce domniemanej prawidłowej odpowiedzi rzeczywiście zachodzi równość. Tam gdzie równość nie zajdzie, tam został popełniony pierwszy błąd.

Q.