Bazy ortogonalne

[Arst]

Witam, szukam jasnej odpowiedzi jak zrobić takie zadanie:

Niech \(\displaystyle{ g(\mathcal{B,B})= \left[ \begin{array}{cccc} 1&1&-1&1 \\ 1&1&0&1 \\ -1&0&1&0 \\ 1&1&0&0 \end{array} \right]}\), \(\displaystyle{ M_\mathcal{B}(\mathcal{U})= \left[ \begin{array}{cccc} 1&-2&1 \\ 0&2&2 \\ 0&-1&2 \\ -1&1&1 \end{array} \right]}\), \(\displaystyle{ V=\mathcal{L}(\mathcal{B})}\)

Trzeba znaleźć:
1. Bazy \(\displaystyle{ U^{\perp}}\) oraz \(\displaystyle{ U+U^{\perp}}\)
2. Ortogonalną bazę U i rozszerzyć ją, o ile to możliwe (kiedy jest to możliwe ), do bazy ortogonalnej przestrzeni V (jak wyznaczyć bazę ortogonalną przestrzeni V )
3. Macierz Grama bazy ortogonalnej V
4. Znaleźć rzut ortogonalny wektora \(\displaystyle{ v=\mathcal{B} \cdot [1 \ 1 \ 1 \ 1]^T}\) na podprzestrzeń U.

Na razie potrafię jedynie stwierdzić, że \(\displaystyle{ U^{\perp} = \mathcal{L}([0 \ -1 \ 1 \ 1]^T)}\). Bardzo bym prosił o wskazówki jak się zabrać za wyznaczenie kolejnych punktów.

Dzięki i pozdrawiam,
A.

[Spektralny]

Czy możesz rozjaśnić oznaczenia? Z tego co piszesz, rozumiem, że \(\displaystyle{ \mathcal{B}}\) jest tajemniczą bazą przestrzeni \(\displaystyle{ \mathbb{R}^4}\) a ta pierwsza macierz jest macierzą funkcjonału dwuliniowego \(\displaystyle{ g}\) w tej bazie? Jeżeli tak, to napiszę Ci schemat rozwiązania.

[Arst]

Zgadza się, tak właśnie jest

[Spektralny]

Tylko jeszcze powiedz co to jest \(\displaystyle{ U}\). Bazę ortogonalną wyznacza się dokonując np. ortogonalizacji Grama-Schmidta, tu: do dowolnej bazy \(\displaystyle{ U}\). Rozszerzenie do bazy całej przestrzeni jest możliwe o ile \(\displaystyle{ \mathbb{R}^4}\) z tą formą jest przestrzenią euklidesowa. O tym czy jest to przestrzeń euklidesowa szybko rozstrzyga kryterium Sylwestera: przestrzeń ortogonalna jest euklidesowa wtedy i tylko wtedy, gdy macierz formy w pewnej (czyli dowolnej) bazie jest dodatnio określona.