1) Niech \(\displaystyle{ f:V\rightarrow W}\) będzie odwzorowaniem liniowym.
Udowodnij, że \(\displaystyle{ f}\) jest różnowartościowe wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ \ker f=0}\).
2) Niech \(\displaystyle{ f:\mathbb{R}^9 \rightarrow \mathbb{R}^8}\) będzie odwzorowaniem liniowym.
Udowodnij, że równanie \(\displaystyle{ f(v)=0}\) posiada niezerowe rozwiązanie.
Jedno i drugie wydaje mi się dość logiczne i może dlatego nie mam pojęcia jak to formalnie udowodnić. Wszelkie pomysły mile widziane.
Odwzorowania liniowe - dowody
-
Kartezjusz
- Użytkownik
- Posty: 7330
- Rejestracja: 14 lut 2008, o 08:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 961 razy
Odwzorowania liniowe - dowody
1.Odwzorowanie jest różnowartościowe,więc \(\displaystyle{ f(x)=f(y) \Leftrightarrow x=y}\),czyli
wiedząc ,że f jest jest liniowe wiemy,że \(\displaystyle{ f(x-y)=0 \Leftrightarrow x-y=0}\)
Więc, jeżeli x-y=k,to f(k)=0,wtedy i tylko wtedy,gdy k=0
2. Wymiar przestrzeni argumentów jest większy niż wartości,więc f(v)=0 można zapisać za pomcą układu 9 równań z ośmioma niewiadomymi( z postaci przekszałcenia liniowego z\(\displaystyle{ R^{n}}\) w \(\displaystyle{ R^{m}}\)
wiedząc ,że f jest jest liniowe wiemy,że \(\displaystyle{ f(x-y)=0 \Leftrightarrow x-y=0}\)
Więc, jeżeli x-y=k,to f(k)=0,wtedy i tylko wtedy,gdy k=0
2. Wymiar przestrzeni argumentów jest większy niż wartości,więc f(v)=0 można zapisać za pomcą układu 9 równań z ośmioma niewiadomymi( z postaci przekszałcenia liniowego z\(\displaystyle{ R^{n}}\) w \(\displaystyle{ R^{m}}\)