Ślad macierzy pomnożonej przez macierz transponowaną

[Tomek_Z]

Jak udowodnić, że \(\displaystyle{ tr(m \cdot m^T) = \sum_{i=1}^{n}a_{ii}^2}\) dla \(\displaystyle{ m \in M_{2 \times 2}}\). Indukcyjnie?

[Qń]

\(\displaystyle{ tr(m \cdot m^T) = \sum_{i=1}^{n}a_{ii}^2}\) dla \(\displaystyle{ m \in M_{2 \times 2}}\).

Coś pokręciłeś z treścią.

Dla macierzy \(\displaystyle{ A=(a_{ij})_{i,j=1}^{n}}\) prawdziwy jest wzór:
\(\displaystyle{ tr (AA^T)=\sum_{1\le i,j \le n}a_{ij}^2}\)

Q.

[Tomek_Z]

Zgadza się, przepraszam za pomyłkę.

Dla macierzy \(\displaystyle{ A=(a_{ij})_{i,j=1}^{n}}\) prawdziwy jest wzór:
\(\displaystyle{ tr (AA^T)=\sum_{1\le i,j \le n}a_{ij}^2}\)

Słownie jest to więc suma kwadratów wszystkich wyrazów naszej macierzy? A jak wygląda sprawa z dowodem?

[Qń]

Jeśli wiersze macierzy \(\displaystyle{ A}\) oznaczymy przez \(\displaystyle{ w_k}\), to mamy:
\(\displaystyle{ AA^T=(w_i \circ w_j)_{i,j=1}^n}\) gdzie \(\displaystyle{ \circ}\) to iloczyn skalarny.
Stąd:
\(\displaystyle{ tr(AA^T)=\sum_{i=1}^n(w_i\circ w_i)= \sum_{i=1}^n\left( \sum_{j=1}^na_{ij}^2\right) =\sum_{i,j=1}^na_{ij}^2}\)

Q.