Każda macierz...

rastabandita · Post autor: **rastabandita** » 12 cze 2011, o 16:46

Witam, mam parę pytań które muszę określić jako prawdziwe bądź fałszywe.

1. Każda macierz może mieć wartości własne. ( Fałsz? - wartości własne może mieć jedynie macierz kwadratowa?)
2. Każda macierz kwadratowa ma co najmniej jedną wartość własną ( Jeżeli macierz 1x1 jest macierzą kwadratową to prawda?)
3. Każda macierz kwadratowa ma nieskończenie wiele wektorów własnych ?

Kartezjusz · Post autor: **Kartezjusz** » 13 cze 2011, o 11:35

a)Tak,ponieważ musisz liczyć wyznaczniki...
b) Nie. Rozważ macierz wierszach [0 1] i [-1 0] nad R

rastabandita · Post autor: **rastabandita** » 13 cze 2011, o 15:02

Kartezjusz pisze:a)Tak,ponieważ musisz liczyć wyznaczniki...
b) Nie. Rozważ macierz wierszach [0 1] i [-1 0] nad R

Ad.b) Za pomocą liczb zespolonych jestem w stanie wyznaczyć wartości własne macierzy
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}-\lambda&1\\-1&\lambda\end{array}\right]}\)
\(\displaystyle{ \lambda^2 = -1

\lambda = \sqrt{-1}

\lambda = i}\)

norwimaj · Post autor: **norwimaj** » 13 cze 2011, o 15:33

1. Napisz to zdanie bez słowa "może", bo nie jestem pewien co masz na myśli.

2. Fałsz. Macierz
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{rr}0&-1\\1&0\end{array}\right]}\)
nad ciałem \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\) nie ma wartości własnych ani wektorów własnych.

Jeśli założymy dodatkowo że macierz jest nad ciałem algebraicznie domkniętym, to wtedy to będzie prawda.

3. Jeśli nie ma żadnej wartości własnej, to nie ma też wektorów własnych. Żeby tu otrzymać stwierdzenie prawdziwe, to trzeba założyć dodatkowo, że mamy do czynienia z ciałem algebraicznie domkniętym i nieskończonym.