Diagonalizowalność

[kbzium]

Cześć!

Mam zadanko "Wykazać, że macierz \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}4&-2&2\\2&0&2\\-1&1&1\end{array}\right]}\) jest diagnonalizowalna. Znaleźć macierz diagonalną D i nieosobliwą P, takie, że \(\displaystyle{ D=P ^{-1} \cdot A \cdot P}\)

Wiem, że macierz jest diagonalizowalna jeśli istnieje baza tej przestrzeni złożona z wektorów własnych, czyli istnieją wszystkie wektory własne (każda wartość własna ma tyle wektorów własnych, jaka jest jej krotność).

I tak wyszły mi wartości własne 1 oraz 2, przy czym druga jest podwójna. Wyznaczyłem też wektory własne.

\(\displaystyle{ v _{1} = [-2,-2,1]}\)
\(\displaystyle{ v _{2} = [1,1,0]}\)
\(\displaystyle{ v _{2 ^{'} } = [-1,0,1]}\)

Wiem, że ta macierz diagonalna D jest macierzą złożoną z wartości własnych na przekątnych, czyli

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&2&0\\0&0&2\end{array}\right]}\).

Ale czym jest macierz P? Czy to macierz po prostu złożona z wektorów własnych?

Dziękuję!

[alfgordon]

tak, odpowiednio pierwsza kolumna odpowiada wektorowi własnemu \(\displaystyle{ v_1}\)

[kbzium]

Czyli wszystko co trzeba w takim zadaniu zrobić to znaleźć wartości i odpowiadające im wektory własne .


Dzięki!

[kbzium]

A czy dobór co jest parametrem ma znaczenie? Bo to, że wyszły mi \(\displaystyle{ v_{1},v_{2},v_{3}}\) to sprawa tego, że przyjąłem za parametr odpowiednią z x,y,z... jak to jest? Bo teraz to samo zadanie rozwiązuję, to wyszło mi co innego... No i jak wstukam w program to ani to ani to nie daje macierzy diagonalnej, tj

\(\displaystyle{ D=P^{-1} \cdot A \cdot P}\)

[mmss444]

Dzieki, dzieki Twojemu przykladowi zrozumialam diagonalizacje macierzy. Jeszcze tylko trigonalizacja i bedzie git:)
Jeszcze raz dzieki

[paveleo]

w 2016 też pomaga to zadanie!