przekształcenie nilpotentne dowód
przekształcenie nilpotentne dowód
Wykaż, że jeśli \(\displaystyle{ \phi - \lambda _{0}I _{d}}\) jest przekształcenie nilpotentnym , to \(\displaystyle{ \lambda _{0}}\) jest jedyną wartością własną przekształcenia \(\displaystyle{ \phi}\)
-
xiikzodz
- Użytkownik
- Posty: 1874
- Rejestracja: 4 paź 2008, o 02:13
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Lost Hope
- Podziękował: 28 razy
- Pomógł: 502 razy
przekształcenie nilpotentne dowód
Niech \(\displaystyle{ \lambda}\) będzie wartością własną przekształcenia \(\displaystyle{ \phi}\), zaś \(\displaystyle{ x}\) wektorem własnym jej odpowiadającym. Wówczas:
\(\displaystyle{ \phi(x)=\lambda x}\)
Stąd:
\(\displaystyle{ (\phi-\lambda_0I_d)(x)=(\lambda-\lambda_0)\cdot x}\)
i z liniowości przez indukcję dla każdego \(\displaystyle{ n}\):
\(\displaystyle{ (\phi - \lambda_0I_d)^n(x)=(\lambda-\lambda_0)^n\cdot x}\)
Na mocy nilpotentności istnieje \(\displaystyle{ k}\), takie, że \(\displaystyle{ (\phi-\lambda_0I_d)^k=0}\), czyli:
\(\displaystyle{ 0=(\phi-\lambda_0I_d)^k(x)=(\lambda-\lambda_0)^k\cdot x}\)
skąd
\(\displaystyle{ \lambda-\lambda_0=0}\)
lub
\(\displaystyle{ x=0}\).
W tym drugim przypadku \(\displaystyle{ \lambda-\lambda_0}\) jest wartością własną przekształcenia \(\displaystyle{ (\phi-\lambda_0I_d)}\), której odpowiada zerowy wektor własny. To jest możliwe jedynie wtedy, gdy ta wartość własna jest zerem, czyli gdy \(\displaystyle{ \lambda-\lambda_0=0}\). Zatem i w tym przypadku otrzymujemy \(\displaystyle{ \lambda=\lambda_0}\).
\(\displaystyle{ \phi(x)=\lambda x}\)
Stąd:
\(\displaystyle{ (\phi-\lambda_0I_d)(x)=(\lambda-\lambda_0)\cdot x}\)
i z liniowości przez indukcję dla każdego \(\displaystyle{ n}\):
\(\displaystyle{ (\phi - \lambda_0I_d)^n(x)=(\lambda-\lambda_0)^n\cdot x}\)
Na mocy nilpotentności istnieje \(\displaystyle{ k}\), takie, że \(\displaystyle{ (\phi-\lambda_0I_d)^k=0}\), czyli:
\(\displaystyle{ 0=(\phi-\lambda_0I_d)^k(x)=(\lambda-\lambda_0)^k\cdot x}\)
skąd
\(\displaystyle{ \lambda-\lambda_0=0}\)
lub
\(\displaystyle{ x=0}\).
W tym drugim przypadku \(\displaystyle{ \lambda-\lambda_0}\) jest wartością własną przekształcenia \(\displaystyle{ (\phi-\lambda_0I_d)}\), której odpowiada zerowy wektor własny. To jest możliwe jedynie wtedy, gdy ta wartość własna jest zerem, czyli gdy \(\displaystyle{ \lambda-\lambda_0=0}\). Zatem i w tym przypadku otrzymujemy \(\displaystyle{ \lambda=\lambda_0}\).