Znajdź wszystkie wartości i wektory własne przekształcenia liniowego
\(\displaystyle{ F: M_{2 \times 2} \rightarrow M_{2 \times 2}}\)
określonego wzorem \(\displaystyle{ F(m) = m^T}\)
Czy przekształcenie to jest odwracalne (zbadaj to także za pomocą macierzy przekształcenia w dogodnej bazie) ?
Nie wiem jak zrobić to zadanie nie znając macierzy przekształcenia. Próbowałem znaleźć tę macierz przyjmując, że moją bazą jest baza standardowa, czyli
\(\displaystyle{ B_{M_{2 \times 2}} = \left\{ \begin{bmatrix} 1&0\\0&0\end{bmatrix} , \begin{bmatrix} 0&1\\0&0\end{bmatrix} , \begin{bmatrix} 0&0\\1&0\end{bmatrix} , \begin{bmatrix} 0&0\\0&1\end{bmatrix}\right\}}\)
wtedy, działając przeksztalceniem F na kolejne wektory z bazy otrzymałem, że macierzą przekształcenia będzie
\(\displaystyle{ m = \begin{bmatrix} 1&0&0&0 \\ 0&0&0&0 \\ 0&1&0&0 \\ 0&0&1&1 \end{bmatrix}}\)
No i nie za bardzo rozumiem co tu się właściwie dzieje, dlaczego wyszła mi macierz 4x4? W zasadzie to nawet nie mogę nałożyć tej macierzy na inną macierz 2x2 bo wynikiem też musi być macierz 2x2.
Będę wdzięczny za każdą pomoc.