Czy wektory są bazą?

[maker3]

Mam takie zadanko.

Sprawdź czy wektory są bazą w przestrzeni R4
\(\displaystyle{ x_1=(1,0,2,-1) \\
x_2=(2,-1,-1,2)\\
x_3=(3,-1,1,1)\\
x_4=(2,-1,1,1)}\)

Zredukowałem macierz z tymi danymi i trzeci wiersz mi się zredukował.
Jaka będzie odpowiedź na pytanie z treści zadania?

Według mnie NIE, ponieważ jeden wektor się zredukował i bazą są tylko 3 pozostałe.

[pyzol]

3 wektory nie mogą być bazą w R4.

[maker3]

Czyli te wektory po zredukowaniu są bazą w R3?

[pyzol]

Nie do końca. Jeśli są niezależne to tworzą bazę w jakiejś trójwymiarowej podprzestrzeni.
Dla przykładu \(\displaystyle{ R^2}\) i wektor \(\displaystyle{ [1,1]}\). Podprzestrzenią jest prosta \(\displaystyle{ y=x}\).
Jeśli chodzi o twoje zadanie, to nie są bazą w \(\displaystyle{ R^4}\) bo masz tylko 3 wektory niezależne.

[maartiinoo]

Widzę, że maker też się uczy do egzaminu u dr Łyko

Byłby ktoś w stanie podać całkowite rozwiązanie, w sensie jak po kolei je rozwiązywać?

[Tomek_Z]

Najpierw sprawdzamy czy są liniowo niezależne. Ponieważ wyznacznik się zeruje, to podane wektory są liniowo zależne, zatem nie mogą być bazą \(\displaystyle{ \mathbb{R}^4}\).

[klaudekk]

Zacznijmy od tego:
aby określić czy jakiś układ wektorów jest baza jakiejś przestrzeni należny zwrócić uwagę czy są to wektory liniowo niezależne. Rozwiązując ten przykład gdzie:
\(\displaystyle{ x1=(1,0,2,-1) \\
x2=(2,-1,-1,2) \\
x3=(3,-1,1,1) \\
x4=(2,-1,1,1)}\)
możemy to zrobić z definicji lub liczyć wyznacznik macierzy. Wyznacznik macierzy wynosi zero, wynika z tego, ze układ tych czterech wektorów jest liniowo zależny(gdyby wyznacznik był\(\displaystyle{ \neq 0}\) wtedy sprawa była by prosta bo byłyby one liniowa nie zależne, a co za tym idzie tworzyły bazę), należy więc "pozbyć się" jednego z nich i sprawdzić czy wtedy układ jest układem liniowo niezależnym i tak aż do skutku.

natomiast jeżeli chodzi o bazę to zwracamy uwagę na wymiar przestrzeni, jeżeli mamy tak jak w tym przypadku \(\displaystyle{ dimV= 4}\) to żeby mówić, że coś jest baza tej przestrzeni musimy mieć właśnie cztery niezależne liniowo wektory. Co zrobić jesli "aż tylu" ich nie ma, bo sa np. trzy lub dwa??
należny samemu dopisać brakującą liczbę wektorów, pamiętając o tym, ze razem z pozostałymi muszą tworzyć układ liniowo niezależny.

[miki999]

3 wektory nie mogą być bazą w R4.

Oczywiście, że mogą być bazą w \(\displaystyle{ \mathbb{R}^4}\), ale nie będzie to baza \(\displaystyle{ \mathbb{R}^4}\), lecz jej pewnej podprzestrzeni.

należny samemu dopisać brakującą liczbę wektorów,

O ile ktoś o to prosi.


Pozdrawiam.