Wykazac, ze zbior wektorow tworzy baze i znalezc wspolrzedne

[freeloser91]

Witam,
Prosze o sprawdzenie zadania.

Tresc: Wykazac, ze zbior zlozony z wektorow \(\displaystyle{ { v_1, v_2, v_3 }}\), gdzie \(\displaystyle{ v_1 = (1, 2, 1) v_2 = (0, 1, 3) v_3 = (1, 2, 0)}\) tworzy bazę w \(\displaystyle{ R^3}\), a nastepnie znalezc wspolrzedne wektora \(\displaystyle{ v_4=(5,2,-1)}\) w tej bazie.

Zbiór \(\displaystyle{ \left\{ V_i \right\}_i^n}\) jest bazą \(\displaystyle{ V}\), jeśli \(\displaystyle{ \forall_{v \in V}}\) istnieje dokładnie jeden \(\displaystyle{ v=\sum_{i=1}^{n}\alpha_i v_i}\)

Rozwiazanie:
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n}\alpha_i v_i = \alpha_1(1,2,1) + \alpha_2(0,1,3) + \alpha_3(1,2,0)=(a,b,c)}\)
Po zsumowaniu wspolrzednych otrzymuje uklad rownan:
\(\displaystyle{ \begin{cases} \alpha_1 + \alpha_3 = a \\ 2\alpha_1 + \alpha_2 + 2\alpha_3 = b \\ \alpha_1 + 3\alpha_2 = c \end{cases}}\)
Wyznacznik macierzy:
\(\displaystyle{ detA=\left| \begin{tabular}{c c c} 1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \\ 1 & 3 & 0 \end{tabular} \right|}\)
Z macierzy wspolczynnikow:
\(\displaystyle{ detA = -1 \neq 0}\)
Wniosek: \(\displaystyle{ v_1, v_2, v_3}\) tworza baze.

Teraz chce zapisac wektor \(\displaystyle{ v_4=(5,2,-1)}\) za pomoca tej bazy.

\(\displaystyle{ (5,2,-1)=a(1,2,1)+b(0,1,3)+c(1,2,0)}\)
\(\displaystyle{ (5,2,-1)=(a+c,2a+b+2c,a+3b)}\)

Uklad rownan:
\(\displaystyle{ \begin{cases} a + c = 5 \\ 2a+b=2 \\ a+3b=-1 \end{cases}}\)
Rozwiazanie:
\(\displaystyle{ \begin{cases}a=\frac{7}{5} \\ b=-\frac{4}{5} \\ c=\frac{18}{5} \end{cases}}\)

Udzielam odpowiedzi:
\(\displaystyle{ v=\frac{7}{5}v_1-\frac{4}{5}v_2+\frac{18}{5}v_3}\)