Proszę o wytłumaczenie mi tego na tym przykładzie:
\(\displaystyle{ \begin{cases}x+y-z=-1\\x+2y-3z=-7\\4x+2y-z=4\end{cases}}\)
Eliminacja Gaussa-Jordana
-
Hondo
- Użytkownik
- Posty: 307
- Rejestracja: 22 lut 2010, o 02:17
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 51 razy
- Pomógł: 14 razy
Eliminacja Gaussa-Jordana
rozpisujesz to w macierzy:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}x&y&z \\1&1&-1 \\1&2&-3\\4&2&-1\end{array} \left|\begin{array}{ccc} \ \\ -1 \\ -7 \\4 \end{array}\right \right]}\)
poprzez odpowiednie działania doprowadzasz do momentu, gdy w danym wierszu zostaje Ci jedna liczba (podobnie jak w przypadku macierzy jednostkowej -- nie dotyczy to x, y, z to jest tylko pomocnicze)
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}x&y&z \\1&1&-1 \\1&2&-3\\4&2&-1\end{array} \left|\begin{array}{ccc} \ \\ -1 \\ -7 \\4 \end{array}\right \right]}\)
\(\displaystyle{ W _{2} ^{'} = W _{2} -W _{1}}\)
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}x&y&z \\1&1&-1 \\0&1&-2\\4&2&-1\end{array} \left|\begin{array}{ccc} \ \\ -1 \\ -6 \\4 \end{array}\right \right]}\)
\(\displaystyle{ W _{1} ^{'} = W _{1} -W _{2}}\)
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}x&y&z \\1&0&1 \\0&1&-2\\4&2&-1\end{array} \left|\begin{array}{ccc} \ \\ 5 \\ -6 \\4 \end{array}\right \right]}\)
\(\displaystyle{ W _{3} ^{'} = W _{3} -4W _{1}}\)
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}x&y&z \\1&0&1 \\0&1&-2\\0&2&-5\end{array} \left|\begin{array}{ccc} \ \\ 5 \\ -6 \\-16 \end{array}\right \right]}\)
\(\displaystyle{ W _{3} ^{'} = W _{3} -2W _{2}}\)
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}x&y&z \\1&0&1 \\0&1&-2\\0&0&-1\end{array} \left|\begin{array}{ccc} \ \\ 5 \\ -6 \\-4 \end{array}\right \right]}\)
\(\displaystyle{ W _{2} ^{'} = W _{2} -2W _{3}}\)
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}x&y&z \\1&0&1 \\0&1&0\\0&0&-1\end{array} \left|\begin{array}{ccc} \ \\ 5 \\ 2 \\-4 \end{array}\right \right]}\)
\(\displaystyle{ W _{1} ^{'} = W _{1} +W _{3}}\)
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}x&y&z \\1&0&0 \\0&1&0\\0&0&-1\end{array} \left|\begin{array}{ccc} \ \\ 1 \\ 2 \\-4 \end{array}\right \right]}\)
\(\displaystyle{ x=1}\)
\(\displaystyle{ y=2}\)
\(\displaystyle{ z=4}\)
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}x&y&z \\1&1&-1 \\1&2&-3\\4&2&-1\end{array} \left|\begin{array}{ccc} \ \\ -1 \\ -7 \\4 \end{array}\right \right]}\)
poprzez odpowiednie działania doprowadzasz do momentu, gdy w danym wierszu zostaje Ci jedna liczba (podobnie jak w przypadku macierzy jednostkowej -- nie dotyczy to x, y, z to jest tylko pomocnicze)
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}x&y&z \\1&1&-1 \\1&2&-3\\4&2&-1\end{array} \left|\begin{array}{ccc} \ \\ -1 \\ -7 \\4 \end{array}\right \right]}\)
\(\displaystyle{ W _{2} ^{'} = W _{2} -W _{1}}\)
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}x&y&z \\1&1&-1 \\0&1&-2\\4&2&-1\end{array} \left|\begin{array}{ccc} \ \\ -1 \\ -6 \\4 \end{array}\right \right]}\)
\(\displaystyle{ W _{1} ^{'} = W _{1} -W _{2}}\)
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}x&y&z \\1&0&1 \\0&1&-2\\4&2&-1\end{array} \left|\begin{array}{ccc} \ \\ 5 \\ -6 \\4 \end{array}\right \right]}\)
\(\displaystyle{ W _{3} ^{'} = W _{3} -4W _{1}}\)
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}x&y&z \\1&0&1 \\0&1&-2\\0&2&-5\end{array} \left|\begin{array}{ccc} \ \\ 5 \\ -6 \\-16 \end{array}\right \right]}\)
\(\displaystyle{ W _{3} ^{'} = W _{3} -2W _{2}}\)
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}x&y&z \\1&0&1 \\0&1&-2\\0&0&-1\end{array} \left|\begin{array}{ccc} \ \\ 5 \\ -6 \\-4 \end{array}\right \right]}\)
\(\displaystyle{ W _{2} ^{'} = W _{2} -2W _{3}}\)
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}x&y&z \\1&0&1 \\0&1&0\\0&0&-1\end{array} \left|\begin{array}{ccc} \ \\ 5 \\ 2 \\-4 \end{array}\right \right]}\)
\(\displaystyle{ W _{1} ^{'} = W _{1} +W _{3}}\)
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}x&y&z \\1&0&0 \\0&1&0\\0&0&-1\end{array} \left|\begin{array}{ccc} \ \\ 1 \\ 2 \\-4 \end{array}\right \right]}\)
\(\displaystyle{ x=1}\)
\(\displaystyle{ y=2}\)
\(\displaystyle{ z=4}\)