metoda eliminacji gaussa

[wests2]

\(\displaystyle{ \begin{cases} x1-x2+x3+x4=2\\x1+x2-x3+2x4=3\\-x1+2x2-x3+x4=1\\x1+2x2-x3+4x4=6\\0+2x2-2x3+x4=1\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&-1&1&1&|2\\1&1&-1&2&|3\\-1&2&-1&1&|1\\1&2&-1&4&|6\\0&2&-2&1&|1\end{bmatrix}}\)

dodaje 1 wiersz do 3 wiersza oraz dodaje 1 wiersz do 4 wiersza i mam:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&-1&1&1&|2\\1&1&-1&2&|3\\0&1&0&2&|3\\0&3&-2&3&|4\\0&2&-2&1&|1\end{bmatrix}}\)

odejmuje 5 wiersz od 4 wiersza i mam:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&-1&1&1&|2\\1&1&-1&2&|3\\0&1&0&2&|3\\0&1&0&2&|3\\0&2&-2&1&|1\end{bmatrix}}\)

skreślam taki sam wiersz i mam:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&-1&1&1&|2\\1&1&-1&2&|3\\0&1&0&2&|3\\0&2&-2&1&|1\end{bmatrix}}\)

odejmuję 1 wiersz od 2 wiersza i mam:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&-1&1&1&|2\\0&2&-2&1&|1\\0&1&0&2&|3\\0&2&-2&1&|1\end{bmatrix}}\)

skreślam taki sam wiersz i mam:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&-1&1&1&|2\\0&2&-2&1&|1\\0&1&0&2&|3\end{bmatrix}}\)

a co dalej? pomocy!!! niewiem co robić i jak wydobyć wynik

[aalmond]

\(\displaystyle{ W_{3} - \frac{1}{2}W_{2}}\)

Rzędy macierzy głównej i rozszerzonej są równe, więc układ równań ma rozwiązanie. Ponieważ rząd jest o 1 mniejszy od ilości zmiennych jest to układ nieoznaczony. Przyjmij \(\displaystyle{ x_{4} = u}\) i wylicz pozostałe zmienne

[wests2]

Rzędy macierzy głównej i rozszerzonej są równe, więc układ równań ma rozwiązanie. Ponieważ rząd jest o 1 mniejszy od ilości zmiennych jest to układ nieoznaczony

- to czaje

Można prosciej? Ja nawet niewiem czy dobrze to rozpisałem. i Niewiem o co chodzi z tym x4 = u?
dla mnie to ważne.

\(\displaystyle{ \begin{cases} x1-x2+x3+x4=2\\2x2-2x3-x4=1\\x2+2x4=3\end{cases}}\)

x4=t
\(\displaystyle{ t \in R}\)

x2+2t=3 \(\displaystyle{ \Rightarrow}\) x2 = 3-2t
6-4t-2x3-t=1 \(\displaystyle{ \Rightarrow}\) x3 = \(\displaystyle{ \frac{5}{2}}\) - \(\displaystyle{ \frac{5}{2}t}\)
x1 - 3-2t + \(\displaystyle{ \frac{5}{2}}\) - \(\displaystyle{ \frac{5}{2}t}\) + t \(\displaystyle{ \Rightarrow}\) x1=\(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) + \(\displaystyle{ \frac{11}{2}t}\)


i jak dobrze??

[aalmond]

Można prosciej? Ja nawet niewiem czy dobrze to rozpisałem. i Niewiem o co chodzi z tym x4 = u?
dla mnie to ważne.

\(\displaystyle{ \begin{cases} x1-x2+x3+x4=2\\2x2-2x3-x4=1\\x2+x4=3\end{cases} \\

x4=t \\
t \in R}\)

Pomyliłeś się przy przepisywaniu z macierzy.

Niewiem o co chodzi z tym x4 = u?

To nie ma znaczenia, czy \(\displaystyle{ u}\) czy \(\displaystyle{ t}\). To jest parametr.
Napisz, czego jeszcze nie rozumiesz.

[wests2]

poprawiłem hyba ok ;
a najwazniejsze to niwiem czy niepowinno sie doprowadzic do postaci shodkowej czy tak moze zostac jak teraz

[aalmond]

\(\displaystyle{ W_{3} - \frac{1}{2}W_{2}}\)

to przekształcenie doprowadza Twoją macierz do postaci schodkowej. Jeżeli to nie wynika z treści zadania, to nie ma takiego obowiązku. W przypadku większej ilości równań można macierz doprowadzić do postaci schodkowej zredukowanej, co ułatwia znalezienie rozwiązania.

[wests2]

\(\displaystyle{ \approx}\) \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&-1&1&1&|2\\0&2&-2&1&|1\\0&0&1& \frac{3}{2} &| \frac{5}{2} \end{bmatrix}}\)

jak dobrze to poprawiłem to zadanie jest ok.
dzięki serdeczne.

[aalmond]

Prawie. Ostatni wiersz: \(\displaystyle{ 0 \ \ 0 \ \ 1 \ \ \frac{3}{2} \ \ \frac{5}{2}}\)

[wests2]

ale to wtedy równanie będzie tak wyglądało?

\(\displaystyle{ \begin{cases} x1-x2+x3+x4=2\\2x2-2x3-x4=1\\x3+ \frac{3}{2}x4= \frac{5}{2} \end{cases}}\)

[aalmond]

W drugim równaniu przed \(\displaystyle{ x_{4}}\) ma być \(\displaystyle{ +1}\) a nie \(\displaystyle{ - 1}\). Poza tym jest dobrze.

[wests2]

czyli tak
\(\displaystyle{ x4=t}\)

\(\displaystyle{ x3= \frac{5}{2} - \frac{3}{2}t}\)

\(\displaystyle{ 2x2-5-3t+t=1 \Rightarrow x2=3-t}\)

\(\displaystyle{ x1-3-t+\frac{5}{2} - \frac{3}{2}t+t=2 \Rightarrow x1= \frac{5}{2} + \frac{3}{2}t}\)

tak?

[aalmond]

\(\displaystyle{ \begin{cases} x_{1} = \frac{5}{2} - \frac{3}{2}t \\ x_{2} = 3 - 2t\\ x_{3 } = \frac{5}{2} - \frac{3}{2}t \end{cases}}\)

[wests2]

ale to jest wynik do tego równania?

\(\displaystyle{ \begin{cases} x1-x2+x3+x4=2\\2x2-2x3+x4=1\\x3+ \frac{3}{2}x4= \frac{5}{2} \end{cases}}\)

i tak wyszło?

bo mi niepasuje x1
\(\displaystyle{ x1-3-2t+ \frac{5}{2} - \frac{3}{2}t + t = 2}\)
\(\displaystyle{ x1= 2+3+2t-\frac{5}{2} + \frac{3}{2}t - t}\)
\(\displaystyle{ x1= \frac{5}{2} - \frac{5}{2}t}\)

[aalmond]

\(\displaystyle{ x_{1}-3+2t+ \frac{5}{2} - \frac{3}{2}t + t = 2 \\ \\
x_{1}=2+3-\frac{5}{2}-2t-t+\frac{3}{2}t \\ \\
x_{1}= \frac{5}{2} - \frac{3}{2}t}\)

[wests2]

napisałeś że \(\displaystyle{ x2=3-2t}\)
a tu piszesz \(\displaystyle{ x1-3+2t}\).... czemu?