Układ równan - macierze

renia215 · Post autor: **renia215** » 2 cze 2011, o 17:57

\(\displaystyle{ \begin{cases} 2x+5y-8z=8\\ 4x+3y-9z=9\\ 2x+3y-5z=7\\ x+8y-7z=12 \end{cases}}\)

Jak rozwiązać powyższy układ równań, wiem ze rzA=2 a rzU=4 i nie mam pojęcia co z tym zrobić, prosze o pomoc...

Freddy Eliot · Post autor: **Freddy Eliot** » 2 cze 2011, o 18:14

Zapisz ten układ w postaci macierzy i skorzystaj z metody eliminacji Gaussa, na przykład.

aalmond · Post autor: **aalmond** » 2 cze 2011, o 18:21

wiem ze rzA=2 a rzU=4

Jeżeli to wiesz, to wiesz wszystko, tylko trzeba wyciągnąć właściwy wniosek.-- 2 czerwca 2011, 18:24 --Zapoznaj się z twierdzeniem Kroneckera-Capellego.

renia215 · Post autor: **renia215** » 2 cze 2011, o 18:43

Zapoznałam sie z nim juz dwa tygodnie temu a zadania nadal mi nie wychodza -- 2 cze 2011, o 20:06 --Jak chociaz to zacząc??

fon_nojman · Post autor: **fon_nojman** » 2 cze 2011, o 19:17

Twierdzenie brzmi:
Układ równań liniowych o macierzy głównej A, i macierzy rozszerzonej U, ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ \text{rz}(A) = \text{rz}(U),}\) gdzie \(\displaystyle{ \text{rz}(A), \text{rz}(U),}\) oznaczają odpowiednio rzędy macierzy A oraz U.

Czego konkretnie nie rozumiesz?

aalmond · Post autor: **aalmond** » 2 cze 2011, o 19:51

Jeżeli \(\displaystyle{ \text{rz}(A) \neq \text{rz}(U)}\), to układ równań nie ma rozwiązań. Inaczej mówiąc jest układem równań sprzecznym.

renia215 · Post autor: **renia215** » 2 cze 2011, o 21:43

Ok, juz sobie z tym poradziłam... jakim spsosbem moge natomiast rozwiązać taki układ ? rzedy są sobie równe a rozwiązania sa dwa z= ... i t= ... , dlaczego tak jest??

\(\displaystyle{ \begin{cases} 4x-6y+2z+3t=2 \\ 2x-3y+5z+75=1 \\ 2x-2y-11z-15t=1 \end{cases}}\)

aalmond · Post autor: **aalmond** » 2 cze 2011, o 22:06

Nie rozwiązywałem tego układu, ale z tego co piszesz wynika że rząd wynosi 2 i mamy układ nieoznaczony w którym dwie zmienne przyjmują dowolne wartości a pozostałe dwie są ich kombinacją. Pokaż te rozwiązania.

Mariusz M · Post autor: **Mariusz M** » 2 cze 2011, o 23:54

Rząd jest równy 3

Macierz główna układu

\(\displaystyle{ A=\begin{bmatrix} 4&-6&2 \\ 2&-3&5\\2&-2&-11 \end{bmatrix}}\)

Kolumna wyrazów wolnych

\(\displaystyle{ b=\begin{bmatrix} 2-3t\\1-75t \\1+15t \end{bmatrix}}\)

Macierz odwrotna

\(\displaystyle{ A^{-1}= \frac{1}{16} \begin{bmatrix}-43&70&24 \\-32&48&16\\2&4&0 \end{bmatrix}}\)

\(\displaystyle{ x=A^{-1}b}\)