forma kwadratowa

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
kieubass
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 226
Rejestracja: 15 gru 2010, o 23:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kutno
Podziękował: 58 razy
Pomógł: 9 razy

forma kwadratowa

Post autor: kieubass »

\(\displaystyle{ A\left( x,x\right)= x_{1}x _{2} +x _{1}x _{3}+x _{1}x _{4}+x _{2}x _{3}+x _{2}x _{4}+x _{3}x _{4}}\)

a) Sprowadzić formę \(\displaystyle{ A}\) do postaci kanonicznej (sumy kwadratów).
b) Podać bazę przestrzeni \(\displaystyle{ \mathbb{R} ^{3}}\), w której forma \(\displaystyle{ f}\) ma postać kanoniczną.

Bardzo prosiłbym o rozwiązanie tego zadania bo ono jest trudniejsze od innych form kwadratowych z którymi miałem do czynienia i które robiłem dobrze na kolokwium... Na zajęciach wykładowca przedstawił mi jedynie metodę z minorami która tutaj nie działa... Podobno jest jakiś inny trudniejszy sposób...
Proszę o pomoc
pawels
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 304
Rejestracja: 5 wrz 2009, o 20:15
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 33 razy

forma kwadratowa

Post autor: pawels »

Algorytm Lagrange'a denacjonalizacji przez kongruencję wykonujemy tak: bierzemy naszą macierz \(\displaystyle{ A}\) i doklejamy z prawej strony blok zawierający macierz jednostkową, a potem diagonalizujemy lewy blok wykonując takie same elementarne operacje na wierszach i na kolumnach powtarzając te same operacje tylko na wierszach bloku zawierającego początkowo macierz jednostkową. Gdy diagonalizmy pierwszy blok drugi będzie zawierał macierz \(\displaystyle{ C}\) taką, że \(\displaystyle{ A=C^TDC}\).
kieubass
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 226
Rejestracja: 15 gru 2010, o 23:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kutno
Podziękował: 58 razy
Pomógł: 9 razy

forma kwadratowa

Post autor: kieubass »

czyli że co? bo przepraszam ale do mnie nie trafia sucha teoria... Naprawdę przepraszam ale czy mógłbyś mi pokazać jak to zrobić? Nie miałem tego na zajęciach a jestem wzrokowcem
Awatar użytkownika
alfgordon
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2176
Rejestracja: 10 lis 2010, o 13:14
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 10 razy
Pomógł: 379 razy

forma kwadratowa

Post autor: alfgordon »

a)podstawienie:

\(\displaystyle{ \begin{cases} x_1 =t_1 +t_2 \\ x_2 =t_1 -t_2 \\ x_3 =t_3 \\ x_4 =t_4 \end{cases}}\)

jednak aby policzyć też b) to jednak wydaje mi się że trzeba o razu skorzystać z metody przekształceń ortogonalnych (a nie tak jak w wyżej),
czyli liczysz \(\displaystyle{ det(A-\lambda I)}\) (szukasz wartości własnych, wektorów własnych)
a potem wektory własne ortonormalizujesz i masz bazę
ODPOWIEDZ