wykazac, ze ..stanowi baze

[yaper]

Jako, iż też do końca nie rozumiem tych baz, podam tu jedno zadanko - proszę o rozwiązanie i komentarz, co do postępowania (toku myślenia).

Czy wektory (1,0,0), (1,1,1) tworzą bazę w przestrzeni R�?

[juzef]

Nie tworzą, gdyż jej nie rozpinają. Na przykład wektor \(\displaystyle{ (0,1,0)\in \mathbb{R}^3}\) nie jest kombinacją liniową tych wektorów.

[yaper]

Nie tworzą, gdyż jej nie rozpinają. Na przykład wektor \(\displaystyle{ (0,1,0)\in \mathbb{R}^3}\) nie jest kombinacją liniową tych wektorów.

Wnioskuję z tego, iż każdy (dowolny) wektor z \(\displaystyle{ R^3}\) musi być kombinacją liniową wektorów \(\displaystyle{ (1,0,0), (1,1,1)}\) - a tak nie jest dla każdego wektora z tej przestrzeni, np w przypadku podanym przez Ciebie, czyli \(\displaystyle{ (0,1,0)}\) nie jest kombinacją liniową wektorów \(\displaystyle{ (1,0,0), (1,1,1)}\).

No to może teraz nieco trudniejsze zadanie, abym nabrał wprawy:

Wykazać, że wektory \(\displaystyle{ (1,2,1), (0,1,3), (1,2,0)}\) tworzą bazę w przestrzeni \(\displaystyle{ R^3}\). Znaleźć współrzędne wektorów \(\displaystyle{ (5,2,-1), (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)}\) względem tej bazy.

[Wojteks]

Zdaje mi sie ze ten uklad wektorow nie tworzy bazy...
A jesli chodzi o wspolrzedne wektorow to robisz tak: przykład (b1)
x(1,2,1)+y(0,1,3)+z(1,2,0)=(5,2,-1)
zatem:
x+z=5
2x+y+2z=2
x+3y=-1

wiec po obliczeniu wychodzi:
x=23
y=-8
z=-18

wspolrzedne wektorow to (23,-8,-18)

[warriorek]

Czy wektory (1,0,0), (1,1,1) tworzą bazę w przestrzeni R�?

Aby wektory tworzyły bazę muszą być spełnione następujące warunki:
1) Musi ich być dokładnie tyle, ilo-wymiarowa jest dana przestrzeń (tzn dla przestrzeni R�, musi ich być dokładnie 3).
2) Muszą być liniowo niezależne (tzn, wyznacznik którego kolumnami są kolejne wektory, musi być rózny od zera).

Np. mamy dwa wektory: \(\displaystyle{ u=[1,2]^T , v=[3,4]^T}\) i chcemy sprawdzić czy są bazą dla \(\displaystyle{ R^2}\)

1) Jest ich 2, przestrzeń tez r-2 więc możemy liczyć dlalej. Jeżeli są lnz(liniowo niezależne) to są bazą przestrzeni R-2.
2) Liczymy wyznacznik ktorego kolumnami są wektory
\(\displaystyle{ \left|\begin{array}{ccc}1&3\\2&4\end{array}\right| = -2}\)
Ponieważ jest różny od 0 to wektory są lnz.

Warunki 1 i 2 są spełnione więc te wektory są bazą dla tej przestrzeni.

[bucu1984]

no pewnie ze jest to baza bo tak jak wyzej sa to wektory liniowo niezalezne gdyz dla jesli wezmiemy dwa dowolne skalary z ciala K to sa one rowne zero dla tych wektorow oraz te wektory generuja cala przestrzen wiec jest to baza