Jako, iż też do końca nie rozumiem tych baz, podam tu jedno zadanko - proszę o rozwiązanie i komentarz, co do postępowania (toku myślenia).
Czy wektory (1,0,0), (1,1,1) tworzą bazę w przestrzeni R�?
wykazac, ze ..stanowi baze
- juzef
- Użytkownik
- Posty: 890
- Rejestracja: 29 cze 2005, o 22:42
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Koszalin
- Pomógł: 66 razy
wykazac, ze ..stanowi baze
Nie tworzą, gdyż jej nie rozpinają. Na przykład wektor \(\displaystyle{ (0,1,0)\in \mathbb{R}^3}\) nie jest kombinacją liniową tych wektorów.
-
- Użytkownik
- Posty: 16
- Rejestracja: 7 sty 2007, o 13:49
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: małopolska
- Podziękował: 1 raz
wykazac, ze ..stanowi baze
Wnioskuję z tego, iż każdy (dowolny) wektor z \(\displaystyle{ R^3}\) musi być kombinacją liniową wektorów \(\displaystyle{ (1,0,0), (1,1,1)}\) - a tak nie jest dla każdego wektora z tej przestrzeni, np w przypadku podanym przez Ciebie, czyli \(\displaystyle{ (0,1,0)}\) nie jest kombinacją liniową wektorów \(\displaystyle{ (1,0,0), (1,1,1)}\).juzef pisze:Nie tworzą, gdyż jej nie rozpinają. Na przykład wektor \(\displaystyle{ (0,1,0)\in \mathbb{R}^3}\) nie jest kombinacją liniową tych wektorów.
No to może teraz nieco trudniejsze zadanie, abym nabrał wprawy:
Wykazać, że wektory \(\displaystyle{ (1,2,1), (0,1,3), (1,2,0)}\) tworzą bazę w przestrzeni \(\displaystyle{ R^3}\). Znaleźć współrzędne wektorów \(\displaystyle{ (5,2,-1), (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)}\) względem tej bazy.
-
- Użytkownik
- Posty: 35
- Rejestracja: 7 sty 2007, o 13:21
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Rybnik
- Pomógł: 1 raz
wykazac, ze ..stanowi baze
Zdaje mi sie ze ten uklad wektorow nie tworzy bazy...
A jesli chodzi o wspolrzedne wektorow to robisz tak: przykład (b1)
x(1,2,1)+y(0,1,3)+z(1,2,0)=(5,2,-1)
zatem:
x+z=5
2x+y+2z=2
x+3y=-1
wiec po obliczeniu wychodzi:
x=23
y=-8
z=-18
wspolrzedne wektorow to (23,-8,-18)
A jesli chodzi o wspolrzedne wektorow to robisz tak: przykład (b1)
x(1,2,1)+y(0,1,3)+z(1,2,0)=(5,2,-1)
zatem:
x+z=5
2x+y+2z=2
x+3y=-1
wiec po obliczeniu wychodzi:
x=23
y=-8
z=-18
wspolrzedne wektorow to (23,-8,-18)
-
- Użytkownik
- Posty: 18
- Rejestracja: 25 maja 2006, o 02:57
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lodz
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1 raz
wykazac, ze ..stanowi baze
Aby wektory tworzyły bazę muszą być spełnione następujące warunki:Czy wektory (1,0,0), (1,1,1) tworzą bazę w przestrzeni R�?
1) Musi ich być dokładnie tyle, ilo-wymiarowa jest dana przestrzeń (tzn dla przestrzeni R�, musi ich być dokładnie 3).
2) Muszą być liniowo niezależne (tzn, wyznacznik którego kolumnami są kolejne wektory, musi być rózny od zera).
Np. mamy dwa wektory: \(\displaystyle{ u=[1,2]^T , v=[3,4]^T}\) i chcemy sprawdzić czy są bazą dla \(\displaystyle{ R^2}\)
1) Jest ich 2, przestrzeń tez r-2 więc możemy liczyć dlalej. Jeżeli są lnz(liniowo niezależne) to są bazą przestrzeni R-2.
2) Liczymy wyznacznik ktorego kolumnami są wektory
\(\displaystyle{ \left|\begin{array}{ccc}1&3\\2&4\end{array}\right| = -2}\)
Ponieważ jest różny od 0 to wektory są lnz.
Warunki 1 i 2 są spełnione więc te wektory są bazą dla tej przestrzeni.
-
- Użytkownik
- Posty: 23
- Rejestracja: 7 sty 2007, o 01:25
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Pomógł: 1 raz
wykazac, ze ..stanowi baze
no pewnie ze jest to baza bo tak jak wyzej sa to wektory liniowo niezalezne gdyz dla jesli wezmiemy dwa dowolne skalary z ciala K to sa one rowne zero dla tych wektorow oraz te wektory generuja cala przestrzen wiec jest to baza